§ 30. Плоскостные решетки. Пространственная решетка

Когда свет проходит сквозь какой-нибудь экран, обладающий правильно расположенными прозрачными или непрозрачными деталями, всегда наблюдаются своеобразные дифракционные явления, в известной мере сходные с дифракцией на простой решетке, и вместе с тем зависящие от структуры экрана. Вообще, всякая правильная структура экрана вызывает появление дифракционной картины. В дифракционных спектрах иногда наблюдаются так называемые «духи», т. е. линии, не имеющиеся в спектре источника; появление «духов» объясняется неправильностями чередования штрихов решетки. Если есть какой-нибудь намек на периодичность этих неправильностей, сейчас же появляются и «духи».

Рис. 99. Скрещенные решетки.

Рис. 100. Дифракция на скрещенных решетках.

Если взять две дифракционные решетки (рис. 99) и поставить их так, чтобы их штрихи расположились под прямым углом, то наблюдаемая дифракционная картина получается от суммарного действия обеих решеток. При этом в фокальной плоскости объектива О вместо полос получаются отдельные правильно расположенные светлые точки (рис. 100). В то время как решетка вызывает появление ряда дифракционных спектров, расположенных сверху вниз, решетка В дает аналогичную картину в горизонтальном направлении. Совместное действие обеих решеток создает ряд светлых пятен, расположенных на плоскости.

Для направлений, соответствующих светлым пятнам, должны одновременно удовлетворяться условия главных максимумов для дифракционных картин, даваемых каждой из решеток. Ведь светлые пятна получаются в местах пересечения светлых полос дифракционных картин от отдельных решеток (правда, не на всех пересечениях). Это условие является необходимым, но, как видно из рис. 100, недостаточным.

Если мы обозначим угол в горизонтальной плоскости между направлением светлого пятна и центральным лучом через и такой же угол в вертикальной плоскости — через то одновременно должно быть:

и

где целые числа, параметры решетки, дающей горизонтальный спектр (вертикальные щели), параметры решетки, дающей вертикальный спектр (горизонтальные щели). Для общности мы считали параметры решеток неодинаковыми.

Полотняный носовой платок дает отчетливую дифракционную картину, подобную изображенной на рис. 100, если сквозь него рассматривать удаленную электрическую лампу. Аналогичный эффект дают все плоские экраны, на поверхности которых правильно распределены маленькие отверстия или, наоборот, небольшие непрозрачные элементы.

Во всех таких случаях надо рассматривать отверстия или непрозрачные элементы как источники когерентных колебаний.

Интерференция этих колебаний и дает все наблюдаемые эффекты. Неравномерный характер излучения каждого отдельного источника колебаний накладывается на всю картину и приводит, так же как и в одномерной решетке (§ 28), к исчезновению некоторых максимумов (см., например, рис. 100).

Рис. 101. Рентгенограмма, снятая по методу Лауэ с кристалла хлористого калия

Еще сложнее обстоит дело в случае пространственного расположения объектов, рассеивающих свет, образующих так называемую пространственную решетку. Лауэ указал, что кристалл может играть роль дифракционной решетки для рентгеновых лучей. При этом он исходил из гипотезы, что в кристаллах атомы расположены правильным образом, на строго постоянных расстояниях друг от друга, образуя пространственную решетку, и из предположения, что длины волн рентгеновых лучей того же порядка, что и междуатомные расстояния в кристаллах. Лауэ разработал теорию рассеяния лучей сплошного рентгенового спектра от такой пространственной решетки, и по его предложению Фридрих и Книппинг сделали снимок узкого пучка рентгеновых лучей, пропущенного сквозь кристалл сернистого цинка. На фотографической пластинке, кроме изображения прямого пучка лучей, оказался ряд правильно расположенных пятен, обладающих той же симметрией, что и кристалл сернистого цинка.

На рис. 101 показано расположение дифракционных пятен при рассеянии рентгеновых лучей кристаллом хлористого калия.

Открытие Лауэ сыграло громадную роль как в изучении свойств рентгеновых лучей, так и в изучении строения кристаллов.

В картине дифракции, создаваемой пространственной решеткой, происходит наложение интерференционных картин от трех линейных решеток. Поэтому вместо двух условий (7) и (8) для существований светлого пятна требуется выполнение трех условий.

Рассмотрим прямоугольную пространственную решетку из атомов. Проведем в этой решетке три оси так, как показано на рис. 102.

Рис. 102. Пространственная решетка кристалла

Пусть рентгеновы лучи падают параллельно оси тогда волновые поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоскости

Разобьем решетку на ряд плоскостей, унизанных атомами и также параллельных плоскости До всех атомов, лежащих в каждой из таких плоскостей, рентгеновы лучи доходят одновременно. Главные максимумы, получающие в результате интерференции колебаний, идущих от атомов одной из таких плоскостей, определяются условиями (7) и (8), так как эти атомы образуют обычную плоскую решетку. Для удобства мы вместо введем расстояния между атомами по осям Кроме того, вместо углов введем дополнительные углы это, очевидно, будут углы между направлением наблюдения и осями Тогда условия (7) и (8) можно переписать так:

Но надо еще учесть интерференцию колебаний, идущих от разных плоскостей. Если мы рассмотрим колебания, идущие от двух разных плоскостей, параллельных плоскости то заметим одно новое и весьма существенное обстоятельство (рис. 103): падающие на кристалл волны неодновременно доходят до всех этих плоскостей. Например, рассмотрим два атома лежащих в двух разных плоскостях; до атома А падающая волна дойдет раньше, чем до атома соответственно, атом А начнет рассеивать вторичную волну раньше, чем атом В. Между вторичными волнами, испущенными атомами будет существовать начальная разность фаз, определяемая разностью хода равной При интерференции эта разность фаз будет играть не меньшую роль, чем разность фаз, возникающая вследствие разности хода уже после рассеяния на атомах.

Рис. 103. Разность хода в решетке.

В изображенном на рис. 103 случае разность хода будет несколько компенсировать разность хода А В. Чтобы определить

результирующую разность хода, мы должны из разности хода вычесть разность хода Тогда

где угол с осью

Для усиления колебаний и получения светлого пятна эта разность хода, как обычно, должна быть равной целому числу длин волн:

Таким образом, для получения светлого пятна на экране в случае пространственной решетки действительно необходимо выполнение трех условий (9), (10) и

Но, кроме того, углы нельзя считать совершенно независимыми друг от друга. Для косинусов таких углов из геометрии известно, что

В результате мы получаем даже слишком много уравнений, связывающих углы При заданной структуре кристалла известны. Если мы направляем на кристалл рентгеновы лучи с определенной длиной волны, то и X известна. Тогда формулы представляют собой четыре уравнения с тремя неизвестными (напомним, что целые числа). Такая система уравнений, вообще говоря, противоречива и имеет решение только при определенных значениях коэффициентов, когда одно из уравнений является следствием других. Физически это значит, что не при всякой длине волны будут наблюдаться дифракционные максимумы.

Из формул можно определить длины волн, дающие дифракционные максимумы:

Только длины волн, удовлетворяющие соотношению (13), дают дифракционные картины.

Эти длины волн образуют дискретный ряд соответствующий разным значениям целых чисел и разным их комбинациям. Остальные длины волн будут равномерно рассеиваться кристаллом и дадут непрерывный фон на экране. Таким образом, если мы пустим на кристалл «белый» пучок рентгеновых лучей, содержащих все длины волн, в образовании дифракционной картины будут участвовать только немногие из них. Профессор Московского университета Ю. В. Вульф и Брегг дали простой вывод одной очень Еажной формулы, широко используемой при исследованиях дифракции рентгеновых лучей.

Разобьем кристалл на ряд параллельных плоскостей, проходящих через узлы решетки. Ясно, что в кристалле можно провести большое число систем параллельных атомных плоскостей, различным образом ориентированных по отношению к решетке кристалла. Пусть падающий луч образует угол О с одной из систем таких плоскостей (рис. 104). Мы будем рассматривать атомные плоскости как прозрачные зеркала, частично пропускающие, частично отражающие рентгеновы лучи. Конечно, отражение рентгеновых лучей есть результат дифракции на атомах. Отраженные лучи, согласно обычному закону отражения, будут образовывать те же углы О с атомными плоскостями. Значит, мы получим ряд параллельных когерентных лучей, сдвинутых по фазе. Из рис. 104 видно, разность хода между соседними лучами равна где расстояние между атомными плоскостями. Лучи будут усиливать друг друга при разности хода, равной целому числу длин волн, т. е.

Это соотношение, называемое формулой Вульфа-Брегга, могло быть получено, конечно, и из формул (9) — (12).

Рис. 104. К выводу формулы Вульфа — Брегга.

Рис. 105. Рентгеновский спектрограф.

Измерение углов на фотографиях позволяет находить по формуле (14) величину характеризующую структуру кристалла. Наоборот, зная и измеряя можно определить

Брегг построил спектрограф для рентгеновых лучей (рис. 105). В спектрографе пучок лучей, исходящий от фокуса трубки, вырезанный узкой щелью падает на грань кристалла К, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси. Отраженный луч попадает

в щель ионизационной камеры могущей вращаться вокруг той же оси.

При попадании пучка рентгеновых лучей в камеру происходит ионизация наполняющего ее газа, газ делается проводящим и через камеру идет ток. Измеряя тем или иным способом силу ионизационного тока, можно судить об интенсивности пучка лучей (сила тока прямо пропорциональна этой интенсивности).

Рис. 106. Структура каменной

Впервые расстояние между атомами в кристалле каменной соли было вычислено просто из плотности этого вещества. Расположение атомов в решетке каменной соли показывает, что на каждую молекулу приходится объем т. е. (рис. 106). Объем грамм-молекулы должен быть равен где число Авогадро Масса грамм-молекулы равна Удельный вес у каменной соли равен 2,164. С другой стороны, ясно, что

откуда

На основании формулы (14) были проведены первые определения длин волн рентгеновых лучей. В дальнейшем прямые измерения длин волн, проведенные с обычными оптическими решетками (§ 29), подтвердили правильность этих первых, несколько косвенных определений.