3.3. Передаточная функция цифрового фильтра

Из сказанного выше ясно, что линейное разностное уравнение (3.3) полностью описывает работу линейного цифрового фильтра. Для анализа передаточных функций дискретных систем используется рассмотренное ранее z-преобразование. Передаточная функция определяется как отношение z-преобразований выходного и входного сигналов. Для рассмотренного выше примера передаточная функция задается выражением

Пример 3.2. В некоторой системе отсчеты входного и выходного сигналов принимают значения на входе: на выходе:

Найдем передаточную функцию системы. По определению z-преобразование входного сигнала равно

Аналогично z-преобразование выходного сигнала имеет вид

Следовательно, передаточная функция дискретной (по времени) системы будет равна

Таким образом, в общем случае передаточная функция, соответствующая соотношению (3.3), задается выражением

где V - -преобразования выходного и входного сигналов соответственно. Выражение (3.4) описывает передаточную функцию линейного цифрового фильтра общего вида. Числитель и знаменатель передаточной функции в общем случае не равны нулю. По виду передаточной функции фильтры обычно классифицируют следующим образом.

Рекурсивные цифровые фильтры — фильтры с передаточной функцией типа (3.4), не содержащей общих множителей и имеющей ненулевые коэффициенты в знаменателе.

Нерекурсивные цифровые фильтры имеют передаточную функцию, которая принимает вид полинома по степеням после сокращения всех общих множителей в выражении (3.4):

Как было отмечено в разд. 3.1 со ссылкой на фиг. 3.2, в зависимости от выбора значения а в передаточной функции отклик системы на единичный импульс либо возрастает, либо затухает со временем. Это определяет диапазон недопустимых значений а, при которых отклик возрастает до бесконечности. Обобщая, можно сказать, что коэффициенты в знаменателе выражения (3.4) необходимо выбирать таким образом, чтобы переходная характеристика не возрастала безгранично. Это утверждение тесно связано с положением полюсов системы.