6.6. Полюсы и нули

Кроме импульсной и частотной характеристик, цифровые фильтры могут быть описаны положением нулей и полюсов -преобразования импульсной характеристики. Правая часть

уравнения (6.5) является полиномом степени от , следовательно, может быть представлена как

где — нули функции . В общем случае они комплексные и определяются из уравнения

Поскольку импульсная характеристика представлена действительными числами, нули являются либо действительными, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Типичное расположение нулей в плоскости показано на фиг. 6.7.

Фиг. 6.7. Конфигурация нулей, определяющая нерекурсивный фильтр.

Так как z-преобразование для нерекурсивного фильтра всегда является полиномом конечной степени [уравнение (6.5)], оно не имеет полюсов в конечных пределах плоскости Отсюда следует, что нерекурсивный фильтр всегда устойчив. Это вполне совместимо с тем, что фильтр не имеет цепей обратной связи.

Пример 3. Как известно из примера 2, импульсной характери

Фиг. 6.8. Конфигурация нулей простого дифференциатора.

стикой простого дифференциатора (фиг. 6.5) является последовательность z-преобразование

Поскольку плоскость содержит единственный нуль при (фиг. 6.8). Подставляя получаем частотную характеристику

и

Модуль частотной характеристики показан на фиг. 6.9.

Фиг. 6.9. Частотная характеристика простого дифференциатора.