9.3. Рекурсивная реализация фильтров нижних частот с линейной фазовой характеристикой

Рекурсивная форма построения цифровых фильтров с симметричными весовыми функциями рассматриваемого типа приводит к сокращению объема вычислений. Другие преимущества рекурсивной формы связаны с использованием целых коэффициентов. Это положение легко проиллюстрировать на простом примере

Фиг. 9.4. Весовая функция «скользящего среднего» с членами.

весовой функции «скользящего среднего», показанной на фиг. 9.4, которая симметрична относительно Передаточную функцию такого фильтра можно найти непосредственно по определению -преобразования:

Функция равна нулю при , т. е. она имеет нулей, равномерно распределенных по единичной окружности в плоскости 2. Кроме нулей, она имеет в точке простой полюс.

В полученном выражении для функции являются -преобразованиями соответственно выходной и входной последовательностей, поэтому связьгвающему их соотношению

во временной области соответствует следующее разностное уравнение:

Отсюда следует, что разностное уравнение, содержащее только три члена, эквивалентно нерекурсивному фильтру скользящего среднего с весовой функцией, содержащей произвольное число членов. Если, например, то весовая функция содержит 11 членов, а фильтрация осуществляется с помощью разностного уравнения

Весовая функция, расположение нулей и полюсов, а также частотная характеристика такого фильтра показаны на фиг. 9.5.

Перейдем к рассмотрению треугольной весовой функции, изображенной на фиг. 9.6. Используя формулу (9.2) и рассматривая треугольную весовую функцию как результат сложения совокупности сдвинутых последовательностей единичных отсчетов, получаем

откуда

Фиг. 9.5. Фильтр «скользящего среднего», весовая функция которого имеет 11 членов. а — весовая функция; б — расположение нулей и полюсов в плоскости в — модуль частотной характеристики.

Фиг. 9.6. Треугольная весовая функция, состоящая из члена.

Соответствующее разностное уравнение имеет вид

Этот результат показывает, что треугольную весовую функцию с произвольным числом членов можно получить, используя рекурсивный фильтр, разностное уравнение которого содержит 5 членов. Например, соответствует треугольной весовой функции, содержащей 21 член, а передаточная функция такого фильтра равна

Она имеет 11 нулей 2-го порядка, равномерно расположенных по единичной окружности в плоскости z, а также полюс 2-го порядка

в точке Весовая функция, расположение нулей и полюсов и частотная характеристика фильтра показаны на фиг. 9.7.

Фиг. 9.7. Фильтр с треугольной весовой функцией, имеющей 21 член. а — весовая функция; б — расположение нулей и полюсов в плоскости в — модуль частотной характеристики.

Этот фильтр может быть реализован с помощью следующего разностного уравнения:

Отметим, что нули и полюсы при расположены так же, как и у рассмотренного ранее простого фильтра скользящего среднего (имеющего но простые нули заменены на нули порядка и простой полюс в точке на полюс порядка. Передаточная функция фильтра с треугольной весовой функцией, содержащей 21 член, равна квадрату передаточной функции цифрового фильтра скользящего среднего с И членами. Учитывая, что умножение в частотной области эквивалентно свертке во временной области, приходим к выводу, что, как и следовало дать, треугольная импульсная характеристика может быть получена путем свертки весовой функции фильтра скользящего среднего с этой же функцией.

В обоих рассмотренных фильтрах используются нули, равномерно расположенные по единичной окружности в плоскости устранение одного из нулей путем введения сорпадающего с ним полюса (или полюсов) и создает полосу пропускания фильтра. Вообще можно показать, что равномерное размещение нулей вдоль

единичной окружности с последующим устранением одного или нескольких из них за счет введения совпадающих с ними полюсов приводит к рекурсивным фильтрам, преимуществами которых являются целые коэффициенты и линейные фазовые характеристики. При этом всегда сохраняется возможность возведения заданной передаточной функции в целую степень, что приводит к увеличению крутизны спада характеристики и уменьшению уровня боковых лепестков.