3.6. Частотная характеристика

Чгобы получить частотную характеристику системы, на ее вход подают синусоидальное колебание и затем исследуют сигнал на выходе. Если система линейна, то на выходе будет синусоидальное колебание той же частоты, но с другими амплитудой и фазой. Поскольку амплитуду и фазу можно объединить представив в комплексной форме, то в качестве входного сигнала обычно используют не действительную, а комплексную синусоиду, изменения которой в системе учитываются умножением на комплексный, зависимый от частоты сигнала коэффициент. С учетом вышеизложенного найдем частотную характеристику цифрового фильтра, заданного соотношением (3.3).

Пусть на вход подается комплексный синусоидальный сигнал ешкт, Тогда, поскольку система линейна, сигнал на выходе может быть только вида где — комплексный коэффициент, который зависит лишь от . Следовательно, в формулу (3.3) можно подставить этом разностное уравнение преобразуется к виду

или

Сократив общий член в обеих частях последнего равенства, получим выражение

которое представляет собой частотную характеристику системы в комплексной форме. Модуль является амплитудной характеристикой, а аргумент — фазовой характеристикой системы, заданной соотношением (3.3).

Заметим, что выражение (3.6) идентично выражению (3.4) для передаточной функции, если в него вместо подставить Это иллюстрирует сущность оператора и «полезность передаточной функции.

Фиг. 3.3. а — реализация передаточной функции б — реализация передаточной функции