7.2.9. Свертка
Операция свертки двух периодических функций 
определяется соотношением (гл. 2)
которое очень похоже на выражение, используемое для получения корреляционной функции (разд. 7.2.7). Единственное существенное отличие состоит в том, что последовательность 
перед почленным перемножением с х реверсируется. Учитывая это (знак минус у переменной суммирования 
и повторяя тот же анализ, который был использован для вывода зависимости между 
и энергетическим спектром, получаем
Отсюда видно, что операция свертки во временной области эквивалентна умножению в частотной области.
Соотношения (7.13) и (7.14) имеют большое значение, поскольку позволяют осуществлять линейную обработку сигналов и моделировать линейные системы. Применительно к этим задачам 
рассматриваются как входной и выходной сигналы системы, 
— как ее импульсная характеристика.
Таким образом, свертку можно производить либо непосредственно на основании соотношения (7.13), либо косвенным методом, используя ДПФ для преобразования периодических функций времени в частотную область. В последнем случае для получения 
при заданных 
их 
нужно вычислить и перемножить соответствующие преобразования 
Затем 
преобразуется с помощью 
выходной сигнал системы 
На первый взгляд вычисление свертки в частотной области кажется более длительной операцией по сравнению с прямым методом. В действительности же косвенный метод иногда позволяет сэкономить значительную долю счетного времени. Причина этого будет рассмотрена в разд. 7.10 после изучения очень эффективного метода вычисления ДПФ и ОДПФ, известного как быстрое преобразование Фурье.
Отметим также, что сходство этого, метода с нерекурсивной фильтрацией лишь чисто внешнее. В уравнении, описывающем нерекурсивный фильтр:
импульсная характеристика содержит только 
отсчетов, тогда как длины 
не ограничены, т. е. речь идет не об обработке периодической функции с использованием периодической импульсной характеристики. Задача фильтрации может быть решена с применением более тонких приемов обработки данных, обсуждаемых подробно в разд. 7.10.
