Глава 7. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Р. Коутс

7.1. Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ.

ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье . Пусть — непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой так что

Функцию можно разложить в ряд Фурье:

где коэффициенты разложения заданы формулой

Обычно является действительной функцией, и тогда — комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем как функцию времени, то можно назвать комплексным спектром . По действительной и мнимой частям можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание

Рассмотрим дискретизацию периодической функции Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты т. е.

где — целое значение задающее частоту

На фиг. 7.1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует.

В соответствии с теоремой отсчетов, рассмотренной в гл. 2, интервал дискретизации Т равен

так что число отсчетов на период будет

Фиг. 7.1. Периодическая функция с ограниченной полосой частот и ее спектр

В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида

Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е. при

или

Поскольку - периодическая функция, для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (7.2):

(Замена Р на в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.)

Подставляя выражение (7.3), получаем

Известно, что

поэтому

Окончательно с учетом того, что по определению

получим

Соотношение, связывающее может быть получено непосредственно из формулы (7.1), если подставить и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции сумма содержит конечное число членов. Итак,

Следует заметить, что — периодическая функция, т. е.

и аналогично

Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его

дискретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая.

Итак, при дискретизации периодической функции соотношение (7.4 позволяет по выборкам найти спектр который на интервале в точности равен спектру исходной периодической функции. Функция и ее спектр графически представлены на фиг. 7.2.

Фиг. 7.2. Дискретизированная периодическая функция и ее периодический спектр

Фиг. 7.3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье и ДПФ.

Поскольку соотношение (7.4) получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (7.2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЦВМ. Соотношения (7.4) и будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно. Заметим, что переменная меняется здесь от нуля до Получаемый спектр можно интерпретировать следующим образом. Первые точек соответствуют спектральным линиям на положительных частотах, как показано на фиг. 7.3, а последние точек соответствуют спектральным линиям на отрицательных частотах.

Пара преобразований, заданная соотношениями (7.4) и (7.5), встречается и в другом виде. Например, множитель и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так и в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется.

Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отож дествлять с тем, который определен формулой (7.2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями