Глава 9. ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
П. Линн
9.1. Введение
В предыдущих главах были рассмотрены методы фильтрации дискретизованных сигналов. На практике часто бывает нелегко выбрать метод, наиболее подходящий для заданного частного случая, и, даже если принято решение синтезировать фильтр во временной области, остается неясным вопрос, какой фильтр следует использовать — рекурсивный или нерекурсивный. Обычно важным практическим критерием является объем вычислений, требуемых для выполнения фильтрации; при моделировании цифрового фильтра на универсальной вычислительной машине сокращение вычислений определяет возможность обработки входных данных в реальном времени. Однако независимо от того, выполняется ли фильтрация на вычислительной машине или с помощью специализированного оборудования, операции умножения требуют наибольших затрат времени и объема оборудования. Другими словами, сокращение вычислений зависит главным образом от степени минимизации числа умножений, требуемых для расчета очередного (отфильтрованного) выходного отсчета. Если, кроме того, коэффициенты, на которые умножаются выборки, — небольшие целые числа, то умножение значительно упрощается по сравнению со случаями, когда эти коэффициенты приходится представлять числами с плавающей запятой и 5—6 десятичными разрядами.
Часто использование рекурсивного фильтра приводит к значительному уменьшению требуемого числа умножений по сравнению со случаем использования нерекурсивного фильтра, имеющего аналогичную частотную характеристику Однако коэффициенты, на которые умножаются выборки при рекурсивной фильтрации, приходится задавать с высокой точностью. Причина состоит в том, что рекурсивный фильтр имеет на плоскости 2 полюсы, которые обычно располагаются близко к единичной окружности, так что небольшая погрешность в значениях коэффициентов разностного уравнения может привести к перемещению этих полюсов за пределы единичной окружности и, как следствие, к неустойчивости фильтра (в этой главе вместо плоскости 
будет использоваться плоскость
, поэтому для обеспечения устойчивости фильтра полюсы должны располагаться внутри круга единичного радиуса). Но даже если не рассматривать проблему устойчивости, то, для того чтобы получить заданную частотную характеристику, полюсы фильтра должны быть расположены с достаточной точностью.
В настоящей главе рассматривается семейство цифровых рекурсивных фильтров, у которых коэффициенты всех умножителей представляют собой небольшие целые числа [1]. Будет показано, что это практически важное преимущество обеспечивается только после принятия достаточно серьезных ограничений на расположение полюсов и нулей фильтра в плоскости z. Эти ограничения дают еще одно преимущество: все фильтры этого семейству имеют идеально линейные фазовые характеристики, обеспечивая постоянную задержку для всех спектральных составляющих входного сигнала. Фактически эти фильтры можно рассматривать как частный случай фильтров на основе частотной выборки, описанных в гл. 8. Детальному анализу этих фильтров предшествует рассмотрение некоторых общих свойств цифровых фильтров с линейной фазовой характеристикой.
