§ 11. Характеристические функции

Характеристическая функция случайной величины х, имеющей функцию распределения определяется как

функция однозначно определяется функцией распределения соответствии с этим называется также характеристической функцией указанной

функции распределения. Нам потребуются следующие основные свойства характеристических функций.

(А) Функция непрерывна при всех и

Если при некотором положительном то имеет непрерывных производных, и

так что

Если

Для того чтобы доказать (11.4) и (11.4), достаточно найти мажоранту для интеграла в правой части (11.4); но в самом деле,

(Б) Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией а именно (формула Леви)

(В) Если взаимно независимые случайные величины с характеристическими функциями то характеристическая функция суммы равна

(Г) Если последовательность функций распределения такая, что во всех точках непрерывности монотонной функции является функцией распределения, то последовательность характеристических функций, соответствующих сходится к характеристической функции, соответствующей равномерно в каждом конечном интервале.

Нам пригодится также следующая близко связанная с предыдущей теорема. Если функции предполагаются только монотонно неубывающими и ограниченными и во всех точках непрерывности ограниченной монотонной функции если некоторая ограниченная и непрерывная функция, то

если только

Последнее условие эквивалентно условию

равномерно по Если, кроме того, зависит от параметра ограничена и непрерывна по то сходимость в (11.6) равномерна по в каждом конечном интервале. Теорема о характеристических функциях, сформулированная в предыдущем абзаце, является частным случаем этой теоремы.

(Д) Обратно, если -последовательность функций распределения, для которых последовательность соответствующих им характеристических функций сходится к характеристической функции и если соответствующая функция распределения, то в каждой точке непрерывности Если предположить лишь, что существует при всех то предельная функция будет обязательно характеристической функцией, если только эта сходимость равномерна в некотором интервале, содержащем

Часто бывает полезным такое следствие из утверждений и Если последовательность случайных величин с характеристическими функциями то тогда и только тогда, когда равномерно в каждом конечном интервале значений переменной Действительно, если положить при при то тогда и только тогда, когда

а условие на характеристические функции, при котором выполнено (11.7) и которое вытекает из и точности совпадает со сформулированные

сейчас условием. На самом деле, если равномерно в некотором интервале, содержащем то то же самое верно и для любого конечного интервала, это вытекает из следующего неравенства для действительной части характеристической функции Ф:

Мы будем часто использовать приводимые ниже неравенства. Эти неравенства дают простой способ оценить по характеристической функции вероятности больших значений случайной величины и показываюу, каких упрощений можно достичь, если центрировать распределение вероятностей, вычитая из случайной величины ее медиану или усеченное математическое ожидание. Во всех последующих рассуждениях этого параграфа х является случайной величиной с функцией распределения и характеристической функцией положительные числа и А - измеримое по Лебегу подмножество интервала меры Функции являются положительными функциями указанных при них аргументов и зависят от лишь постольку, поскольку зависят от их аргументы. Пусть медиана случайной величины х, т. е.

Определим х как величину х, усеченную до значения там, где она выходит за пределы т. е. как

и положим

Мы докажем, что существует функция такая, что

Центрирование распределения при помощи медианы дает более полезное неравенство

Центрирование при помощи дает неравенство того же самого типа:

Переходя к изучению второго момента, мы покажем, что

Если обозначить через дисперсию распределения усеченного до когда оно выходит за пределы если

то и из (11.9) будет следовать, что при некоторой функции

Наконец, мы докажем, что при некоторой функции

При доказательстве перечисленных выше неравенств потребуются следующие элементарные неравенства. Во-первых, функция

обращающаяся в при положительна при малых и ее производная обращается в между и только в одной точке; следовательно,

Во-вторых, если то

Для того чтобы доказать это, положим а, равным наименьшему числу, большему или равному а, для которого отношение является целым. Тогда

Мы лишь уменьшим интеграл в (11.12), если заменим А на сумму содержащихся в непересекающихся интервалов длины начинающихся или кончающихся в точках в которых интегрируемая функция обращается в 0. Таким образом,

Тогда, согласно (11.11),

что и доказывает (11.12).

Чтобы доказать (11.8), рассмотрим интегралы от обеих частей неравенства

по при этом будем иметь, что

Учитывая (11.12), получаем отсюда (11.8) с

Чтобы доказать (11.8), применим (11.8) к , где х не зависит от и имеет то же самое распределение, что и х. Мы получим, что

так как имеет характеристическую функцию . Далее,

и это неравенство вместе с предшествующим дает первую половину (11.8). Вторая половина следует из неравенства

Мы отложим доказательство (11.8) до тех пор, пока не будет доказано (11.10). Для того чтобы доказать (11.9), мы, используя (11.12), находим, что

так что (11.9) имеет место с

Для того чтобы доказать (11.9), применим (11.9) с и, замененным на тогда получим

Комбинируя это неравенство с неравенством

найдем, что

Отсюда вытекает (11.9) с

Для того чтобы доказать (11.10), мы заметим (используя определение что

Следовательно, (11.10) верно при

Наконец, мы докажем (11.8), применив (11.8) к Имеем

так что (11.8) верно с

Если ограниченная случайная величина, то (11.9) дает при достаточно большом [1 мажоранту для дисперсии х, однако полезнее провести

прямой анализ. Мы докажем, что если и если х имеет дисперсию характеристическую функцию то

Чтобы доказать это, предположим сперва, что Тогда, согласно (11.4) с

и, согласно (11.4) с

Далее, если комплексное число и то

(интегрирование производится по прямолинейному отрезку). Отсюда, используя (11.4), получаем

так что, комбинируя это неравенство с (11.16), имеем

Взяв действительные части, мы находим, что (11.14) верно при Если мы теперь откажемся от ограничения то, применив доказанное неравенство к мы получим неравенство (11.14) в той форме, в какой оно сформулировано выше.