§ 2. Усиленный закон больших чисел для стационарных в узком смысле вероятностных процессов

Эргодическая теорема для случая непрерывного параметра, вероятностное название которой стоит в заголовке настоящего параграфа, обычно формулируется следующим образом. Пусть измеримая трансляционная группа сохраняющих меру взаимно однозначных точечных преобразований и измеримая и интегрируемая функция на соответствующем пространстве. Тогда предел

существует и конечен для почти всех Так как обратная группа является группой того же типа, что и то под знаком интеграла можно заменить на В приведенном виде нашу теорему можно слегка обобщить, заменив группы точечных преобразований полугруппой преобразований множеств; при этом мы придем к следующему предложению. Пусть измеримая трансляционная полугруппа сохраняющих меру преобразований множеств и измеримая, интегрируемая функция на соответствующем пространстве. Тогда если для каждого случайная величина выбрана так, чтобы функция была измерима по совокупности аргументов то предел

существует и конечен для почти всех Группа здесь играет ту роль, которую в предыдущей формулировке играла обратная группа Согласно § 1, приводимая ниже теорема 2.1 в части, касающейся существования предела, лишь словесно отличается от только что сформулированного утверждения. В той формулировке, которую мы сейчас дадим, наша теорема называется также усиленным законом больших чисел для стационарных в узком смысле вероятностных процессов (с непрерывным параметром).

Теорема 2.1. Пусть измеримый стационарный в узком смысле вероятностный процесс такой, что и — борелевское поле инвариантных -множеств. Тогда с вероятностью 1

В частном случае, когда процесс метрически транзитивен, правая часть (2.1) может быть заменена на

Ясно, что содержание теоремы не изменится, если среднее значение в. левой части (2.1) заменить на

(где и фиксировано), и что величина предела при этом останется той же самой. Если значения параметра процесса пробегают всю ось то мы можем заменить х, на и получить, что и в этом случае соответствующее

предельное среднее значение существует. Поскольку инвариантные множества обратной группы сдвигов совпадают с инвариантными множествами прямой группы сдвигов, то и величина предела здесь будет той же, что и в (2.1). Отсюда вытекает, что с вероятностью 1 справедливо также равенство

Однако предел

вообще говоря, может и не существовать с вероятностью 1.

Так как по предположению процесс измерим, то почти все его выборочные функции являются измеримыми функциями. Далее, так как

то в силу теоремы 2.7 гл. II почти все выборочные функции интегрируемы по Лебегу на любом конечном интервале. Таким образом, интегральные средние значения, фигурирующие в условии теоремы, определены с вероятностью 1. Для доказательства существования предела этих средних можно воспользоваться рассуждением, аналогичным примененному при доказательстве соответствующей теоремы для дискретного случая (гл. X, теорема 2.1); можно также следующим образом непосредственно воспользоваться указанной теоремой. Определим величины утпри помощи соотношений

Тогда процессы будут стационарными в узком смысле процессами с целочисленным параметром. Следовательно, по теореме 2.1 гл. X предел

существует и конечен с вероятностью 1, и то же самое верно и для средних значений процесса Из последнего факта вытекает, что с вероятностью 1

Сели теперь наибольшее целое число, не превосходящее то

где в силу (2.3) с вероятностью 1

Из существования с вероятностью 1 пределов в (2.2) и (2.4) немедленно следует, что и предел в (2.1) существует с вероятностью 1. Остальные

утверждения теоремы доказываются точно так же, как и в дискретном случае (см. теорему 2.1 гл. X). Как и в случае дискретного параметра, если то

т. е. имеет место сходимость средних к соответствующему пределу также и в смысле сходимости в среднем порядка 5. Следствие к теореме 2.1 гл. X здесь обращается в следующее предложение:

Следствие. При любом действительном предел

существует с вероятностью 1. Случайные величины имеют конечные математические ожидания, причем

и преобразуются при сдвиге на величину При этом для всех (1, за исключением самое большее счетного множества значений, справедливо равенство

если то и причем в этом случае

и

Доказательство этого следствия совершенно аналогично доказательству соответствующего предложения для случая дискретного параметра, и мы его опускаем. Как и в самой теореме, среднее значение — может быть заменено средним значением .