§ 4. Различные понятия сходимости

Пусть случайные величины. Если для почти всех

то мы будем говорить, что

с вероятностью Такая сходимость имеет место тогда и только тогда, когда

для каждого

Последовательность называется стохастически сходящейся к если выполнено более слабое условие: для каждого

Стохастическую сходимость, обозначаемую символом

называют также сходимостью по вероятности или сходимостъю по мере.

Следующие соотношения между сходимостью с вёроятностыо 1 и сходимостью по вероятности хорошо известны и не будут здесь доказываться:

а) из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности;

б) тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность последовательности величин х содержит другую подпоследовательность, сходящуюся к х с вероятностью 1.

Последовательность называется сходящейся к х в среднем, если для всех и

Такая сходимость обозначается символом

Из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности. В самом деле, если выполнено (4.5), то в силу недавенства Чебышева

Пусть — последовательность одномерных функций распределения. Удобнее всего определить сходимость этой последовательности к функции распределения требованием, чтобы в каждой точке непрерывности функции Если это условие выполнено, то сходимость обязательно будет равномерной в любом (конечном или бесконечном) замкнутом интервале, в котором функция непрерывна. Следующее определение расстояния между двумя функциями распределения порождает эту сходимость? Дополним графики в точках разрыва вертикальными отрезками и примем за расстояние между максимум расстояния между их дополненными графиками в направлении прямой с угловым коэффициентом — 1. При таком определении пространство функций распределения становится полным метрическим пространством и во всех точках непрерывности тогда и только тогда, когда расстояние между стремится к нулю при

Если члены последовательности являются функциями распределения случайных величин и если эта последовательность функций распределения сходится в только что описанном смысле к некоторой функции распределения, то о последовательности случайных величин говорят иногда, что она сходится по распределению. Эта терминология является не совсем удачной, так как такая последовательность случайных величин может не сходиться ни в каком обычном смысле. Например, если функции распределения всех одинаковы, а в других отношениях последовательность произвольна (например, состоит из взаимно независимых величин), то эта последовательность случайных величин будет сходиться по распределению.