§ 3. Решение задачи о прогнозе для простейших случаев (случай дискретного параметра)

В качестве тривиального примера рассматриваемой задачи о прогнозе упомянем случай, когда величины взаимно ортогональны, так что

Здесь ортогонально к так что Заметим, что мы не предполагали, что

Предположим теперь, что спектральная функция абсолютно непрерывна и что

Так как функция должна быть интегрируемой, то многочлен не может обращаться в нуль при Изменив, если надо, коэффициенты мы можем, не меняя при этом значений многочлена на окружности добиться того, чтобы все корни этого многочлена были по модулю меньше 1 (см. гл. X, § 10). Тогда (см. гл. X, § 10, случай 2) величину можно представить в виде

где величины образуют ортонормированную последовательность, и каждое ортогонально всем случайным величинам ортогонально Это значит, что величина

является прогнозом величины по известным значениям поскольку здесь и разность ортогональна многообразию Прогнозирующая функция в этом случае дается формулой

Средний квадрат ошибки прогноза (на один шаг вперед) равен

Для нахождения прогноза на большее число шагов вперед следует итерировать формулу (3.2). Например,

Последнее равенство показывает, что равно сумме членов в правой части, содержащих величины при этом

Особый интерес представляет случай (случай процесса, марковского в широком смысле). В этом случае (см. гл. X, § 3, пример 2) наши формулы принимают особенно простой вид:

Заметим, что т. е. прогноз по прошлому вплоть до стремится к нулю при Иными словами, прогнозируемое значение основанное на отдаленном прошлом процесса, близко к нулю, а соответствующий средний квадрат ошибки близок к

Процессы со спектральной плотностью (3.1) все регулярны обладают тем свойством, что прогноз здесь зависит только от конечного числа прошлых значений процесса. Обратно, регулярный процесс, обладающий последним свойством, должен удовлетворять разностному уравнению вида (3.2), где и ортогонально к Согласно

§ 10 гл. X, такой процесс имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию и спектральную плотность вида (3.1), где корни многочлена все можно предполагать по модулю меньшими единицы,

Ясно, что процесс является детерминированным и обладает тем свойством, что зависит только от конечного чпсла значений процесса в прошлом тогда и только тогда, когда выполняется однородное разностное уравнение

(мы здесь предположили, что зависит точно от 3 прошлых значений процесса). Для того чтобы такое уравнение имело место, необходимо и достаточно, чтобы спектральная функция была ступенчатой функцией с конечным числом скачков. В самом деле,

Если имеет место (3.5), то интеграл в (3.6) равен нулю, а это возможно только в том случае, когда постоянно всюду, кроме самое большее точек, в которых подинтегральная функция обращается в 0. Обратно, если функция является постоянной, за исключением скачков в (3 отдельных точках, то коэффициенты можно подобрать так, чтобы подинтегральная функция в (3.6) обращалась в в каждой из этих точек. При этом интеграл в (3.6) окажется равным нулю и, следовательно, будет выполняться (3.5).

Следующий пример представляет собой комбинацию регулярного процесса рассмотренного здесь типа и детерминированного процесса. Пусть. стационарный в широком смысле и марковский в широком смысле процесс со спектральной плотностью

так что в силу (3.4) с

Пусть ортогонально всем определим процесс полагая для всех Спектральная функция процесса является ступенчатой функцией с единственным скачком в нулевой точке:

и прогноз на любое число шагов вперед, разумеется, совпадет с Положим теперь так что спектральная функция процесса равна Для нахождения прогноза величины на один шаг вперед заметим, что

Последний результат может быть получен или из закона больших чисел для стационарных в широком смысле процессов (теорема 6.1 гл. X), или при помощи непосредственного подсчета математического ожидания квадрата модуля этого отношения. Случайная величина

принадлежит а разность ортогональна Следовательно, и мы доказали, что прогноз равен сумме отдельных прогнозов для процессов Если величины в формуле (3.7) заменить на то мы получим в итоге прогноз величины если заменить на V, то мы получим прогноз величины Итак, вычисление прогнозируемого значения может быть проведено совершенно одинаково для процессов Иными словами, прогнозирующая функция может быть выбрана одинаковой для всех трех процессов; именно можно положить

где понимается как предел в среднем с весом следовательно,

Мы уже видели, что для процесса функция тождественно равна с [см. (3.4)]. Это не противоречит нашему последнему результату, так как относительно меры изменение значения в одной точке совершенно несущественно (ибо каждая точка имеет меру равную нулю). Разумеется, линейная операция (3.7) излишне усложнена, еслп рассматривать ее, как дающую прогноз процесса это соответствует тому, что наша функция также усложнена по сравнению с найденной ранее прогнозирующей функцией этого процесса. Существенно, однако, что так определенная функция является одновременно прогнозирующей функцией для всех трех процессов как мы увидим в § 4, это обстоятельство характерно и для общего случая. В заключение заметим еще, что ошибка прогноза на шагов вперед для процесса равна

т. е. такова же, как и для процесса , но при это выражение стремится к

В качестве последнего примера рассмотрим случай, когда спектральная функция абсолютно непрерывна и спектральная плотность равна

где ряд сходится равномерно; более того, предположим, что ряд сходится равномерно при для некоторого и нигде не обращается в нуль в этой области. Так, например, мы видели в § 10 гл. X, что если есть рациональная функция относительно то можно представить в виде

где и где многочлен в знаменателе не обращается в при ясно, что этот случай входит в число рассматриваемых в нашем примере.

При указанных предположениях мы можем определить прогнозирующую функцию при помощи равенства

Действительно, при этом так как мы можем положить в равенстве

(где ряд сходится равномерно) кроме того, ортогонально к [с весом ], так как

при

Таким образом, мы решили проблему о наилучшем прогнозе для случая, когда функция представима в указанном в предыдущем абзаце виде. Большая часть следующего параграфа будет посвящена изучению осложнений, возникающих, когда такое представление возможно лишь при более слабых предположениях о сходимости.