ДОПОЛНЕНИЕ

Мы изложим здесь кратко некоторые сведения из теории меры в форме, приспособленной для использования в этой книге. Длинные, но стандартные и имеющиеся во многих руководствах доказательства мы будем при этом опускать. Всюду в дальнейшем обозначает абстрактное пространство, состоящее из точек его подмножества будут называться -множествами.

§ 1. Поля точечных множеств

Определение. Класс -множеств называется полем, если он обладает следующими свойствами.

Поле называется борелевским полем, если оно обладает еще следующим дополнительным свойством:

Теорема 1.1. Пусть — произвольный класс -множеств. Тогда существует однозначно определенное борелевское поле -множеств обладающее следующими двумя свойствами:

(II) если — борелевское поле -множеств и то

Класс -множеств является наименьшим борелевским полем, содержащим все множества из Всегда существует хотя бы одно борелевское поле» множэств, содержащее все множества из таким полем является, например, борэлзвскоз поле всех -множеств. Определим как класс множеств, каждое из которых входит в любое борелевское поле -множеств, содержащее все множзства из другими словами, возьмем в качестве пересеченна всех борзлевскнх полей, содержащих все множества из Тогда будет бэрзлзвскил полем, обладающим обоими свойствами, указанными в формулировке теорэмы. Единственность такого поля является тривиальным следствием этих двух свойств. Поле будэт называться борелевским полем, порожденным классом будет обозначаться черзз

Теорема 1.2. Пусть поле -множеств и -класс -множеств, обладающий следующими свойствами (I) и (II):

или

то

Тогда

Доказательство этой теоремы мы опускаем. Свойство (II) иначе можно выразить, сказав, что содержит предел любой монотонной последовательности входящих в него множеств.

Если есть -мерное пространство и если класс всех открытых множеств этого пространства, то множества из называются -мерными борелевспияи множествами. Тот же самый класс множеств получится, если взять в качестве класс всех замкнутых множеств или класс всех (n-мерных, открытых или замкнутых) интервалов. Этот же класс множеств получается также, если взять за класс конечных сумм правых полузамкнутых интервалов, т. е. класс конечных сумм множеств вида

Здесь числа могут быть как конечными, так и бесконечными, причем если то условие заменяется на чтобы тем самым исключить точки с бесконечными координатами. Этот последний выбор обладает тем преимуществом, что оказывается здесь полем.

В дальнейшем мы будем иметь дело с различного рода функциями от Любое множество, определенное условиями, наложенными на некоторые функции от мы будем обозначать при помощи этих условий, заключенных внутри фигурных скобок. Так, если х и у — функции от и если У — некоторое числовое множество, то

будет обозначать множество тех точек для которых является числом, входящим в множество

Пусть борелевское поле -множеств и некоторая функция от функция называется измеримой относительно или если она принимает действительные значения если для каждого действительного числа с, или же если является комплексной и ее ствительная и мнимая части являются действительными измеримыми функциями. Достаточно, чтобы в приведенном выше определении постоянная с пробегала не все множество действительных чисел, а лишь некоторое множество значений, всюду плотное на прямой Отметим без доказательства, что линейная комбинация функций, измеримых относительно также измерима относительно Еслп последовательность функций, измеримых относительно то множество точек, в которых последовательность сходится, принадлежит и если эта последовательность сходится всюду, то ее предел является функцией, измеримой относительно

Если класс борелевских множеств в -мерном пространстве, то функции, измеримые относительно называются измеримыми по Борелю или беровскими функциями. Функция от комплексных переменных называется измеримой по Борелю (или беровской) функцией, если она является беровской функцией от переменных — действительных и мнимых частей ее аргументов.

Если А есть n-мерное борелевское множество, то определяемое им цилиндрическое множество в пространстве измерений является

-мерным борелевским множеством (цилиндрическое множество, о котором здесь идет речь, есть множество точек, у которых первых координат такие же, как у точек А, а остальные координаты могут принимать произвольные значения). Действительно, класс -мерных борелевских множеств, для которых верно это утверждение, является, очевидно, борелевским полем, содержащим все -мерные интервалы, и совпадает поэтому с классом всех -мерных борелевских множеств. В соответствип с этим замечанием, если х — беровская функция переменных и если х используется для задания новой функции от переменных (такой, что ее значения определяются лишь первыми из ее аргументов), то эта новая I функция будет беровской функцией переменных.

Теорема 1.3. Пусть класс -множеств такой, что класс конечных сумм непересекающихся множеств из образует поле, и — класс функций от обладающих следующими свойствами:

(I) содержит любую функцию, принимающую значение 1 на некотором множестве из класса и на его дополнении.

(II) в содержит все линейные комбинации конечного числа входящих него функций.

(III) Если существует и конечен при всех то

Тогда содержит все функции, измеримые относительно В частности, если класс функций от переменных и класс правых полузамкнутых интервалов, то содержит все беровские функции переменных.

В случае действительных (соответственно, комплексных) функций коэффициенты линейных комбинаций в (II) считаются действительными (соответственно, комплексными). Мы докажем эту теорему лишь для случая действительных функций. Пусть — класс множеств из таких, что на вне то Тогда в силу содержит все множества из в силу (II) содержит все конечные непересекающихся множеств из и в силу (III) содержит пределы монотонных последовательностей множеств из А. Так как является борелевским полем, порожденным полем конечных сумм непересекающихся множеств из то из теоремы 1.2 следует, что А содержит все множества из Далее, для произвольной функции измеримой относительно определим функции следующим образом:

Как мы только что видели, значит, в соответствии со свойством (II), также и Наконец, так как , то по свойству что и требовалось доказать.

Теорема 1.4. Если борелевское поле -множеств, функции от измеримые относительно — беровская функция переменных, то является функцией от , измеримой относительно

Эта теорема сразу вытекает теоремы 1.3. Действительно, если мы определим как класс беровских функций от переменных, для которых верно утверждение теоремы как класс правых полузамкнутых интервалов), то легко проверить, что будет обладать свойствами,

указанними в теореме 1.3, и, следовательно, будет содержать все беровские функции переменных.

В дальнейшем мы будем часто рассматривать -множества вида

это есть множество, состоящее из всех точек для которых чисел определяют точку из множества А. Если действительные функции, то А является здесь множеством точек -мерного пространства; если же комплексные функции, то А есть множество точек -мерного пространства (это множество отождествляется естественным образом с множеством -мерного комплексного пространства).

Следствие. Если — борелевское поле -множеств, —функции от измеримые относительно и А есть -мерное борелевское множество -мерное, если комплексные функции),

Чтобы доказать это следствие, определим как борелевскую функцию переменных, равную 1 на вне А. Тогда, согласно теореме 1.4, функция будет измерима относительно так что -множество

входит в класс.

Пусть — борелевское поле -множеств, и пусть семейство функций от измеримых относительно Обозначим через борелевское поле -множеств, порожденное классом -множеств вида где и — правые полузамкнутые интервалы. Очевидно

Борелевское поле является наименьшим борелевским полем -множеств, относительно которого измеримы все функции Взяв в предыдущем следствии в качестве поле мы получим, что если конечное множество из это -мерное борелевское множество -мерное, если х, комплексные функции), то

Класс -множеств, входящих в левую часть этой формулы, образует поле, которое порождает борелевское поле это будет справедливо, и если ограничиться лишь множествами А, являющимися конечными суммами правых полузамкнутых интервалов. В частном случае, когда есть множество целых чисел поле совпадает с классом множеств вида

где А — это -мерные борелевские множества -мервые, если комплексны).

Теорема 1.5. Пусть борелевское поле -множеств, и пусть функции от измеримые относительно Функция от измерима, относительно тогда и только тогда, когда она имеет вид где беровская функция переменных.

Прямое утверждение теоремы представляет предыдущей теоремы, в силу которой функция измерима относительно если является беровской функцией. Так как в утверждении теоремы может быть заменено на то из этой теоремы следует, что функция измерима относительно Обратно, пусть у— функция от измеримая относительно

Предположим, что у — действительная функция, и положим

Тогда найдется борелевское множество такое,

Множества (при фиксированном не пересекаются. Следовательно если мы определим как

то множества при фиксированном также будут] непересекающимися, и мы будем иметь

Положим

Тогда мы можем записать в виде

где

Пусть множество точек -мерного пространства, [представимых в виде Тогда, поскольку

при всех , то и предел

существует во всех точках множества Но так как являются беровскими функциями, то множество точек, в которых последовательность этих функций имеет конечный предел, является борелевским множеством Возьмем беровскую функцию равную на этому пределу и равную нулю вне Тогда

так что у оказывается беровской функцией от что и требовалось доказать. Если у является комплексной функцией, то предыдущий результат применяется к ее действительной и мнимой частям.

Теорема 1.6. Пусть борелевское поле -множеств, и пусть семейство функций от измеримых относительно Пусть где Предположим, что несчетно. Тогда если то найдется счетное подмножество множества (зависящее от А) такое, что Если х есть функция от измеримая относительно то найдется счетное подмножество (зависящее от такое, что функция х измерима относительно

Пусть класс множеств А, обладающих свойством, о котором идет речь в теореме. Тогда и мы хотим доказать, что В класс входят все -множества вида где и — борелевское множество. Кроме того, легко проверить, что является борелевским полем. Поэтому в силу свойства минимальности поля имеет

место равенство что и требовалось доказать. Пусть теперь любая действительная функция от измеримая относительно Из уже доказанного следует, что для каждого рационального числа найдется счетное подмножество множества такое, что

Пусть Тогда является счетным подмножеством множества и величина х измерима относительно Если комплексная функция, измеримая относительно то существуют счетные подмножества множества такие, что действительная и мнимая части х измеримы относительно соответственно, Если то множество счетно функция х измерима относительно