§ 8. Абсолютно непрерывные спектральные функции и скользящее суммирование

Так же как и в случае дискретного параметра, спектральное представление

при абсолютно непрерывной функции может быть заменено на

где доказательство этого факта здесь ничем не отличается от приведенного в § 8 гл. X и будет поэтому опущено. Если то и в таком случае и можно выбрать так, что

В случае непрерывного параметра процесс, получаемый с помощью скользящего суммирования, определяется как процесс вида

где С — измеримая по Лебегу функция, такая, что

а — процесс с ортогональными приращениями, удовлетворяющий условию При таком определении, очевидно,

где С — преобразование Фурье функции

Следовательно, процесс является стационарным в широком смысле и

так что соответствующая спектральная функция абсолютно непрерывна и имеет спектральную плотность Обратно, предположим, что процесс имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию. В таком случае можно представить в виде (8.2), где нам будет удобно здесь изменить обозначения и вместо (8.2) писать

Запишем теперь в виде преобразования Фурье:

Если (8.2) переписать символически в виде

и определить, далее, процесс как преобразование Фурье процесса так что символически (см. § 4, гл. IX)

и затем формально применить к тождество Парсеваля, то мы получим

Последнее равенство действительно имеет место (после отбрасывания чисто символического среднего члена), так как приведенное в § 4 гл. IX определение преобразования Фурье процессов с ортогональными приращениями делает законными все наши формальные преобразования. Такпм образом, мы доказали, что стационарный в широком смысле процесс является процессом, получаемым с помощью скользящего суммирования, тогда и только тогда, когда его спектральная функция абсолютно непрерывна.

В качестве примера рассмотрим стационарный (в широком смысле) и марковский (в широком смысле) процесс, изученный ранее в примере 2 из § 3. Спектральная функция такого процесса абсолютно непрерывна, причем

где с имеет положительную действительную часть а (мы исключаем здесь вырожденный случай, когда Легко проверить, что в этом случае можно принять

так что процесс здесь представим в виде

Из этого представления процесса в виде интеграла от значений «в прошлом» процесса с ортогональными приращениями легко непосредственно, вывести, что наш процесс является марковским в широком смысле.