§ 4. Спектральное представление стационарного процесса

Теорема 4.1. Каждый стационарный в широком смысле процесс удовлетворяющий условию (3.1), допускает спектральное представление

где процесс с ортогональными приращениями такой, что

При этом процесс с ортогональными прираиениями, фигурируюгций в (4.1), удовлетворяет равенству

и при соответствующей нормировке процесса это равенство однозначно определяет с точностью до значений на -множестве вероятности 0. Если процесс действительный, то (4.1) можно переписать в виде

где действительные процессы с ортогональными приращениями такие, что

Удовлетворяющие этим соотношениям процессы с ортогональными приращениями, фигурирующие в (4.1), удовлетворяют также

равенствам

причем последние равенства определяют однозначно (с точностью до значений на -множестве вероятности 0), если только нормировать соответствующим образом.

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.1 гл. X (за исключением того, что ряды Фурье здесь заменяются интегралами Фурье) и будет поэтому опущено. Заметим еще, что для нормированного процесса можно считать, что

поскольку скачок в точке ничего не добавляет к стохастическому интегралу в (4.1) и поэтому может быть просто вычтен. Интегралы в (4.2) в случае измеримого процесса можно понимать, как интегралы Лебега от выборочных функций этого процесса (см. § 3), а в случае неизмеримого процесса - как интегралы Лебега от измеримой стандартной модификации процесса (см. § 2 гл. II).

Общие рассмотрения, приведенные в § 4 гл. X, также применимы и к случаю непрерывного параметра и не будут здесь повторяться, за исключением обсуждения значения примера 3. Как и в случае дискретного параметра, если спектр процесса состоит только из конечного числа точек, то спектральное представление сводится к конечной сумме того же вида, что в примере 3 § 3:

где случайные величины взаимно ортогональны. Более того, и в общем случае любая интегральная сумма интеграла Римана-Стильтьеса (4.1), аппроксимирующая будет иметь аналогичный вид:

Таким образом, процессы, рассмотренные в примере 3, могут быть использованы для аппроксимации общего стационарного в широком смысле процесса в том смысле, что каждому соответствует стационарный процесс вида, рассмотренного в примере 3, удовлетворяющий условию

действительно, в качестве всегда можно взять некоторую интегральную сумму представления (4.1). Возможность такой аппроксимации оправдывает следующий метод, обычно используемый инженерами и физиками при изучении стационарных в широком смысле процессов. А именно, представляют сперва в виде ряда такого вида, как в примере 3, а затем увеличивают число различных подбирая соответствующие с) так, чтобы функция

приближалась к искомой спектральной функции процесса. Эта асимптотическая процедура обоснована постольку, поскольку она сводится к простой аппроксимация стохастического интеграла, фигурирующего в спектральном представлении, интегральными суммами; однако чаще всего для замены этого интеграла аппроксимирующими суммами имеется не больше оснований, чем для замены интегралов аппроксимирующими суммами в любом другом разделе математики.