§ 8. Абсолютно непрерывные спектральные функции в скользящее суммирование

Если абсолютно непрерывная функция, то спектральное представление

можно несколько видоизменить, придав ему более удобную форму. В этом случае для произвольной беровской функции удовлетворяющей условию

существует процесс с ортогональными приращениями такой, что

Действительно, если нигде не обращается в 0, то соотношение (8.2) будет верно при

Если может обращаться в 0, то доказательство существования представления (8.2) становится лишь немного более сложным. Пусть вероятностный процесс с ортогональными приращениями, удовлетворяющий соотношениям

Для получения такого процесса быть может, потребуется расширить пространство точек при помощи присоединения так, как это было объяснено в § 2 гл. II. Если теперь при тех X, для которых в остальных точках, то процесс удовлетворяющий

условию (8.2), можно определять равенством

[при в этом равенстве считается, что ]. В тех случаях, когда для всех процесс можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство

В качестве приложения рассмотренного здесь спектрального представления исследуем процессы, волучаемые с помошыо скользящего суммирования, т. е. процессы, определяемые рядами вида

где взаимно ортогональные случайные величины с так что образуют ортонормированную последовательность. Мы будем

предполагать, что отсюда вытекает, что ряд в (8.3) сходится в среднем (теорема Фишера — Рисса). Очевидно, здесь

Так как левая часть этого соотношения не зависит от да, то процесс является стационарным в широком смысле. Если процесс стационарен в узком смысле (например, если величины взаимно независимы и одинаково распределены), то процесс также будет стационарным в узком смысле. Мы сейчас докажем, что стационарный в широком смысле процесс является процессом, получаемым с помощью скользящего суммирования, тогда и только тогда, когда его спектральная функция абсолютно непрерывна. Действительно, если процесс, получаемый с помощью скользящего суммирования (8.3), то определим функцию соотношением

где ряд сходится в среднем. Используя теперь равенство Парсеваля, получаем, что

так что спектральная функция процесса абсолютно непрерывна, причем

Обратно, если абсолютно непрерывная спектральная функция некоторого процесса то, используя спектральное представление (8.2) и подставляя в него разложение в ряд Фурье функции

(ряд справа обязательно сходится в среднем), находим, что

где

Таким образом, мы получили представление (8.3) для процесса ортонормированность соответствующих величин проверяется непосредственно.

Представляет интерес получить явное выражение для процесса входящего в формулу (8.1), в случае процесса задаваемого равенством, (8.3). Это делается очень просто; в результате получается, что

где функция была определена выше.