§ 7. Вид функций распределения и свойства непрерывности выборочных функций

Пусть конечны) — процесс с независимыми приращениями; предположим, что этот процесс центрирован и что он не имеет фиксированных точек разрыва. Пусть характеристическая функция разности

Тогда из независимости приращений следует, что при

Далее, так как процесс центрирован и не имеет фиксированных точек разрыва, то равномерно по при и., заключенном в любом конечном интервале,

В соответствии с (7.1) отсюда следует, что функция непрерывна по , если считать ее равной 1 при Тогда если мы запишем в виде

то это будет означать, что представляется в виде произведения характеристических функций, которые могут быть сделаны равномерно близкими к 1 на каждом конечном интервале значений Отсюда следует, что распределение вероятностей для разности является безгранично делимым (см. § 4 гл. III), так что (теорема 4.1 гл. III) при каждом

где является монотонно неубывающей, непрерывной справа и ограниченной по X функцией такой, что а - некоторая постоянная. В левой части этого соотношения стоит непрерывная функция от Отсюда вытекает, что непрерывно зависит от и что

для всех X, при которых непрерывна по X функция (См. в § 4 гл. III обсуждение вопроса о том, в какой мере определяются соответствующими распределениями вероятностей. Мы будем использовать в дальнейшем тот факт, что функция однозначно определяется левой частью соотношения (7.2), даже если не предполагать монотонности как функции от X, а предположить лишь, что она имеет ограниченную вариацию.) Если применить развитые выше соображения к интервалу то мы придем к аналогичной формуле для с вместо и

С другой стороны, в соответствии с (7.1)

Мы находим отсюда, что

так что (7.3) дает для такое же выражение, какое формула Леви-Хинчина дает для безгранично делимого распределения. Поэтому при функция должна быть неотрицательной и монотонно неубывающей функцией от Другими словами, функция является монотонно, неубывающей по X и по монотонны по и по с помощью функции можно определить меру в пространстве Эта мера окажется для нас очень важной.

Обратно, предположим, что при всех таких, что функция определяется из соотношения (7.3), где функции обладают писанными выше свойствами. Тогда существует центрированный процесс независимыми приращениями, не имеющий фиксированных точек разрыва, для которого разности имеют распределение, задаваемое соотношением (7.3).

Если распределение разности зависит только от и если процесс х, имеет независимые приращения, то говорят, что он является процессом со стационарными независимыми приращениями (или однородным, процессом с независимыми прираиениями). Если такой процесс центрирован, то он не может иметь фиксированных точек разрыва, так как этот процесс обладает при всех значениях параметра одними и темп же вероятностными свойствами. В этом случае соотношение (7.3) вместе с (7.1) показывает (мы считаем что

так что

для некоторой постоянной и некоторой функции Таким образом соотношение (7.3) переходит в

Пример 1. Если рассматриваемый процесс — это процесс брауновского движения, изученный в § 2, то а функция постоянна всюду, кроме точки где она имеет скачок величины

Пример 2. Если рассматриваемый процесс — это пуассоновский процесс, изученный в § 4, то и постоянна всюду, кроме точки где она имеет скачок величины

Пример 3. Рассмотрим следующий процесс. Происходят события в соответствии с распределением Пуассона со средней плотностью числа событий с. Случайная величина х, определяется как сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет заданную функцию распределения где число событий, наступивших между моментами и включительно. Другими словами, в момент осуществления каждого из событий

производятся независимым образом испытания с функцией распределения а - общая сумма результатов этих испытаний за время Процесс является однородным процессом с независимыми приращениями; он центрирован и не имеет фиксированных точек разрыва. Легко вычислить характеристическую функцию

так что

Сравнив это соотношение с (7.3), находям, что здесь

Пример. 4. Гауссовский случай. Предположим, что процесс с независимыми приращениями и что разность имеет гауссовское распределение вероятностей. Согласно теореме Крамера, если сумма двух независимых случайных величин имеет гауссовское распределение, то и каждое слагаемых имеет гауссовское распределение. Поэтому каждая из разностей имеет гауссовское распределение. Однако в том интересующем нас случае, когда процесс центрирован и не имеет фиксированных точек разрыва, для получения этого результата вовсе не обязательно опираться на теорему Крамера. В самом деле, используя обозначения (7.2), мы находим, что в этом случае как функция от X, постоянна всюду, кроме точкп где она имеет скачок. Так как монотонно не убывает с ростом то всюду следует, что и функция должна быть постоянной всюду, кроме точки она имеет скачок. То же самое верно и для разности так что величинах, — вмеет гауссовское распределение. Положим теперь

Если а имеет вид , то является процессом брауновского движения с множеством значений параметра Если это не так, то функция а все равно является непрерывной, и если положить где то процесс будет процессом брауновского движения, определенным на интервале [0, а Мы заключаем отсюда, что почти все выборочные функции процесса являются непрерывными на если этот процесс сепарабелен.

Следующая теорема усиливает и обращает результат, полученный при изучении предыдущего примера.

Теорема 7.1. Пусть центрированный процесс с независимыми приращениями, не имеющий фиксированных точек разрыва. Тогда:

(I) Распределение вероятностей для каждой из разностей является безгранично делимым.

(II) Следующие условия являются эквивалентными".

а) Разность имеет гауссовское распределение.

б) Каждая из разностей имеет гауссовское распределение.

в) Если — счетное подмножество интервала всюду плотное в то почти все выборочные функции совпадают в точках с функциями, определенными и непрерывными на всем интервале

если процесс сепарабелен, то почти все выборочные функции непрерывны на

Мы уже доказали утверждение эквивалентность условий и (II), б) и тот факт, что из условия (II), б) следует условие (II), в). Чтобы закончить доказательство, мы покажем, что из (II), в) следует (II), г) и что из (II), г) следует .

Если выполнено условие (II), в) и если процесс сепарабелен, то почти все выборочные функции равномерно непрерывны на и отсюда следует, что при любом

Мы уже отмечали (§ 1 гл. III) и несколько раз использовали тот факт, что соотношения (7.4) и (7.4) являются эквивалентными, т. е. что вероятность того, что произойдет хотя бы одно из взаимно независимых событий, и математическое ожидание числа просшедших событии могут стремиться к лишь одновременно. Следовательно, в сепарабельном случае условие (II), г) выполнено. Если процесс не сепарабелен, то можно сделать его сепарабельным, изменив каждую из величин х, на -множестве вероятности 0. Такое изменение не влияет на справедливость соотношений (7.4) и (7.4). Наконец, если выполнено условие (II), г), то условие вытекает из одного из вариантов центральной предельной теоремы (см. следствие из теоремы 4.1 гл. III).

Для изучения структуры процесса с независимыми приращениями удобно записать (7.3) в том виде, в каком это соотношение было получено первоначально Леви:

где

Тогда при функция является монотонно неубывающей по определяет меру в плоскости Вероятностный смысл этой меры будет рассмотрен ниже. Можно предположить, что функция нвляется непрерывной справа функцией от X при всех обращается в при Хотя функция может оказаться неограниченной при X, близких к 0, но всегда

Если пуассоновский процесс со средней плотностью числа событий с, то а функция имеет скачок величины при и постоянна при всех остальных Рассмотрим теперь более общий случай процесса когда

где процессы взаимно независимы; процесс является пуассоновским процессом со средней плотностью числа событий процесс явлнется процессом брауновского движения с единичным дисперсионным параметром; — постоянные; постоянные все различны и не обращаются в 0. В таком случае процесс будет центрированным однородным процессом с независимыми приращениями, у которого

и где функция при изменяется лишь скачками величины с в точках Таким путем наиболее общий центрированный однородный процесс с независимыми приращениями можно аппроксимировать суммой процесса брауновского движения, линейной комбинации пуассоновских процессов и линейной функции, причем при этой аппроксимации точно воспроизводятся два первых члена суммы в правой части (7.5), а интеграл заменяется суммой Римана — Стильтьеса. Для аппроксимирующего процесса интеграл

равен просто математическому ожиданию числа скачков выборочной функции (чисел появлений событий в пуассоновских компонентах), которые происходят на отрезке времени от до и имеют величину, заключенную между X и (1. Эти соображения легко обобщить, и на неоднородный случай, и они делают правдоподобным тот факт, что и в наиболее общем случае почти все выборочные функции центрированного сепарабельного процесса с независимыми приращениями, не имеющего фиксированных точек разрыва, непрерывны во всех точках, кроме тех, где они имеют скачок, и что приведений выше двойной интеграл равен математическому ожиданию числа скачков выборочной функции, происходящих на отрезке времени от до и имеющих величину, заключенную между Мы докажем теперь эти результаты, принадлежащие Леви.

Теорема 7.2. Почти все выборочные функции сепарабельного центрированного процесса с независимыми приращениями обладают следующими свойствами:

(I) Они ограничены на каждом множестве значений параметра вида где Они имеют конечные пределы слева (соответственно справа) в каждой точке которая является предельной точкой множества слева (соответственно справа).

(III) Их разрывы являются скачками всюду, за исключением, быть может, фиксированных точек разрыва.

теорему следует сравнить с соответствующей теоремой о мартингалах (теорема 11.5 гл. VII). Утверждение (I) представляет собой просто повторение теоремы 6.3 и приводится здесь лишь для полноты. Утверждение (II) было получено в § 12 гл. VII как приложение теории мартингалов [пункт б)]. То обстоятельство, что в § 12 гл. VII предполагалось, что

множество значений параметра является интервалом, в силу теоремы 6.2 является несущественным. Утверждение (III) следует сразу же из пункта (II) и определения сепарабельности (см. соображения, использованные при доказательстве теоремы 11.5 гл. VII). Функция, все разрывы которой являются скачками, должна быть непрерывна всюду, кроме не более чем счетного числа точек. Следовательно, почти все выборочные функции будут в рассматриваемом случае обладать этим свойством.

В качестве трех основных примеров мы отметим сепарабельный процесс брауновского движения, у которого (почти все) выборочные фувкции непрерывны; сепарабельный пуассоновский процесс, у которого (почти все) выборочные функции монотонны и возрастают скачками единичной величины в точках, положение которых меняется при переходе от одной выборочной функции к другой; и, наконец, процесс, рассмотренный в теореме 6.4, у которого почти все выборочные функции непрерывны всюду, кроме фиксированных точек разрыва.

Мы закончим этот параграф изучением распределения вероятностей для числа скачков выборочных функций сепарабельного центрированного процесса с независимыми приращениями, не имеющего фиксированных точек разрыва. Пусть число скачков, которые происходят за время от а до и величина которых (т. е. разность между правым и левым пределами) не превосходит X, где Тогда является конечной и целочисленной случайной величиной. Процесс (при фиксированном X) имеет, очевидно, независимые приращения и центрирован; он является однородным, если однородным является сам процесс В этом последнем случае процесс должен быть пуассоновским, так как он удовлетворяет качественным условиям а) — в), подробно изученным, в § 4. Если процесс х, не является однородным, то процесс становится пуассоновским после соответствующей замены временного переменного. Мы хотим показать, что

где — функция, используемая в (7.5) (мы предполагаем, что она непрерывна справа). Тем самым будет выяснен смысл меры, определяемой функцией [Вопрос об отождествлении функции при с математическим ожиданием числа скачков, больших X, за время от а до может быть изучен аналогичным образом; случай положительного X можно также свести к случаю отрицательного X, заменив на Для того чтобы получить интересующий нас результат, нам достаточно вспомнить вывод соотношения (7.5), приведенный в § 4 гл. III. Идея этого вывода состоит в следующем: представим в виде

где центрирующие константы, получаемые так же, как и в § 4 гл. III; а именно это математические ожидания разностей усеченных на некотором расстоянии выше и ниже медианы. Так как процесс не имеет фиксированных точек разрыва, то константы будут равномерно малыми при больших Отсюда следует соотношение (7.5) для характеристических функций, причем

по крайней мере, во всех точках, где эта предельная функция распеределения непрерывна по Фиксируем теперь и обозначим через (не более чем счетное) множество значений X, при которых функция имеет разрыв, т. е. значений X, для которых положительна вероятность того, что выборочная функция будет имэть скачок величины X хотя бы один раз за промежуток времени от а до Обозначим через чпсло индексов при которых осуществляются события, указанные в скобках в соотношении (7.7). Тогда для почти всех выборочных функций

и соотношение (7.7) принимает вид

Далее, это сумма взаимно независимых случайных величин, каждая из которых принимает лишь значения и 1. Ее дисперсия равна поэтому сумме дисперсий слагаемых и не превосходит суммы вторых моментов этих слагаемых, а вторые моменты равны в этом случае первым моментам

Таким образом, остается ограниченным при . Следовательно, интегрирование под знаком предела в (7.8) является законным, и, учитывая (7.7), мы видим, что из этого соотношения следует искомое соотношение (7.6) при По непрерывности соотношение (7.6) будет выполняться при всех что и требовалось доказать.