§ 5. Закон больших чисел

Мы увидим в этом параграфе, что небольшое усиление количественных условий некоторых теорем о законе больших чисел для взаимио независимых слагаемых позволяет перенести эти теоремы на случай взаимно ортогональных слагаемых.

Теорема 5.1. Если - взаимно ортогональные случайные величины с то

тогда и только тогда, когда

Эта теорема, вытекающая очевидным образом из равенства

является вариантом в слабом смысле теоремы 3.2 гл. III. Вторая часть этой последней теоремы, связывающая равенства (3.8) и (3.9) гл. также остается верной, однако для случая, когда предполагаются лишь взаимно ортогональными, она менее интересна, чем для случая взаимной независимости.

В соответствии с теоремой 3.4 гл. III, если имеют нулевые математические ожидания и взаимно независимы и если то выполнен усиленный закон больших чисел. В рассматриваемом сейчас ортогональном случае на величины нужно наложить несколько бблыпие ограничения.

Теорема 5.2. Если -взаимно ортогональные случайные величины с и если

то с вероятностью 1

Как и при доказательстве теоремы 3.4 гл. III, достаточно показать, что суммы сходятся в среднем и с вероятностью 1, а обе эти сходимости обеспечиваются теоремой 4.2.

Только что доказанная теорема менее известна, чем ее аналог для независимых случайных величин. Мы отметим, поэтому, один ее частный случай: если -случайные величины с

то усиленный закон больших чисел выполнен не только, если эти

величины взаимно независимы (теорема 3.4 гл. III), но и если предположить лишь, что они взаимно некоррелированы (так как их математические ожидания равны нулю, то они будут при этом также взаимно ортогональными). Заметим, однако, что условие не входит в предположения теоремы 5.2 и что оно совершенно излишне. Единственным существенным условием является ортогональность, а условие нужно лишь потому, что вместе с взаимной некоррелированностью величин оно влечет за собой их взаимную ортогональность.