Глава III. ПРОЦЕССЫ С ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

§ 1. Общие замечания

В этой главе рассматриваются только случайные величины с действительными значениями. Распространение результатов на величины с комплексными значениями не составляет никаких затруднений.

Как уже отмечалось в § 4 гл. II, процессы с взаимно независимыми значениями представляют интерес только в случае дискретного параметра. Поэтому типичным процессом, рассматриваемым в настоящей главе, будет последовательность взаимно независимых случайных величин. Из свойства независимости следует, что такой процесс полностью задается одномерными функциями распределения случайных величин, составляющих этот процесс.

Одним из наиболее замечательных свойств изучаемых процессон является закон нуля или единицы, который будет часто применяться в следующих параграфах.

Теорема 1.1 (закон нуля или единицы). Пусть -взаимно независимые случайные величины. Тогда для любого -множества А, являющегося измеримым множеством выборочного пространства семейства величин при любом или или Для любой случайной величины у, измеримой относительно случайных величин при каждом существует постоянная с такая, что

Эту теорему приводят обычно в следующей, несколько вольной формулировке. Пусть -последовательность взаимно независимых случайных величин. Тогда, если А — событие, зависящее для любого только от величин то вероятность А равна или 0, или 1; точно так же, если у для любого с вероятностью 1 равно некоторой функции от величин то с вероятностью 1.

Второе утверждение теоремы следует сразу из ее первого утверждения, поскольку если случайная величина у удовлетворяет предположениям этого второго утверждения, то -множество где А — любое борелевскоа множество, удовлетворяет условиям первого утверждения теоремы. Мы будем Поэтому доказывать дальше только первое утверждение. Предположим, что - множество А обладает указанным в формулировке теоремы свойством и что класс измеримых -множеств таких, что

Тогда в соответствии с условиями нашей теоремы в класс входит -множество, являющееся для какого-либо измеримым множеством выборочного пространства величин Пусть - класс -множеств, каждое из которых является измеримым множеством выборочного пространства величин хотя бы для одного Тогда является полем и, как мы только что показали, В класс входят, очевидно, пределы любых монотонных последовательностей множеств из а следовательно (см. дополнение, теорема 1.2), в него входит борелевское поле, порожденное Это борелевскоз поле совпадает с классом измеримых -множеств выборочного пространства величин Поэтому

откуда и следует, что или что и требовалось доказать.

Предположение о взаимной независимости величин нужно нам только для того, чтобы обеспечить выполнение (1.1) при Если мы отбросим предположение о независимости и будем считать только, что это измеримое -множество, для которого каждом с вероятностью 1

то при о соотношение (1.1) останется выполненным и доказательство равенства (1.2) будет проходить точно так же, как и в рассмотренном выше частном случае. Заметим, однако, что даже в такой более общей форме эта теорема является тривиальиым следствием теоремы о сходимости мартингалов (гл. VII, теорема 4.3).

Прежде чем рассматривать приложения закона нуля или единицы, мы приведем пример, показывающий, как может обстоять дело, когда величины не взаимно независимы. Предположим, что с вероятностью 1

Тогда удовлетворяет условию теоремы 1.1, но у не обязано быть константой, так как величина может быть совершенно произвольной.

В качестве первого приложения закона нуля или единицы рассмотрим следующую задачу. Пусть -измеримые -множества. Обозначим через А множество точек содержащихся в бесконечном числе множеств

Требуется вычислить На менее прозаическом языке событий задача состоит в вычислении вероятности того, что произойдет бесконечно много событий (соответствующих множествам Определим равенством

I I) в остальных случаях.

Тогда, очевидно, обладает свойством, указанным в формулировке теоремы 1.1. Если события, соответствующие множествам не являются независимыми, т. е. если не являются независимыми величины то может быть любым числом между и 1. Однако если эти события взаимно независимы, то в силу закона нуля или единицы должно равняться или 0, или 1. Следующая теорема, обычно называемая леммой Бореля — Кантелли, дает критерий для различения этих двух случаев.

Теорема 1.2. Пусть измеримые -множества, и пусть -множество точек, принадлежащих бесконечному числу Если то Если же а если все взаимно независимы, Если то

так что Предположим теперь, что события независимы. Так как событие, противоположное событию А, состоит в том, что при

достаточно большом не произойдет ни одно из событий то

где дополнение к Если то бесконечное произведение

равно 0, откуда следует, что предел в правой части (1.4) равен 0, и поэтому

Обобщение закона нуля или единицы и леммы Бореля — Кантелли, принадлежащее Леви, будет рассмотрено в гл. VII.

Приведем один результат, близко связанный с предыдущим. Пусть множества, соответствующие независимым событиям. Пусть математическое ожидание числа наступивших событий т. е. математическое ожидание случайной величины, равной при каждом со числу множеств содержащих . Тогда

Мы хотим сравнить с вероятностью того, что произойдет хотя бы одно из событий

Из приводимых ниже неравенств следует, что стремятся к О с одинаковой быстротой. Действительно, так как то

так что