3.2.4. Коэффициент корреляции

Выражение (3.2.16) для дисперсии линейной функции двух случайных величин обязательно является положительным числом или нулем для любых действительных значений

Так как выражение в правой части является квадратным уравнением относительно то из положительности дисперсии следует, что его корни являются комплексными. Отсюда

что можно переписать в виде

Параметр называется коэффициентом корреляции между . Он заключен в интервале

Мы уже отмечали, что если случайные величины независимы, то , следовательно, Для двумерной нормальной плотности вероятности было показано и обратное: если то случайные величины независимы. Однако если для распределения, отличного от нормального, то случайные величины не обязательно являются независимыми. В этом случае их называют некоррелированными.

Если то диаграмма разброса для пар величин которые являются реализациями случайных величин была бы похожа на приведенную на рис. 3.8 а. Видно, что знание одного из членов пары никак не помогает в предсказании значения другого.

Для малых, но положительных значений диаграмма разброса была бы похожа на показанную на рис. этот рисунок соответствует значению

Рис. 3.8. Диаграммы разброса выборок двумерных нормальных случайных величин.

Теперь уже заметна слабая тенденция к группированию значений вдоль прямой линии. Так, большие значения преимущественно соответствуют большим значениям а малые значения — малым значениям Если бы коэффициент корреляции был равен —0,5, то наклон прямой, вокруг которой группируются значения, был бы отрицательным. Следовательно, большим значениям преимущественно соответствовали бы малые значения и наоборот. Для значений близких к единице, диаграмма разброса концентрируется около прямой линии, как показано на рис. 3,8, в; для этого рисунка Следовательно, является мерой линейной зависимости между случайными величинами и в предельном случае имеется точное линейное соотношение вида

Сравнение диаграмм разброса рис. 3.8 с диаграммами разброса данных акселерометра, приведенных на рис. 3.7, показывает, что эти данные имеют коэффициент корреляции между 0,5 и 0,9.

Формула для выборочной оценки коэффициента корреляции будет приведена в гл. 4; для акселерометрических данных она дает значение . Эта величина достаточно мала и должна вызывать некоторое беспокойство относительно надежности визуального считывания показаний акселерометра пилотом!

Ковариация линейных функций. В качестве заключительного обобщения (3.2.17) рассмотрим линейные функции Ковариация между ними равна

что сводится к (3.2.16) в случае

Вообще имеем

Равенство (3.2.21) является важным результатом, который будет использован в гл. 6 для вычисления ковариации между сглаженными спектральными оценками.

Результаты этого раздела приведены в матричной форме в приложении