5.2.5. Общие процессы скользящего среднего — авторегрессии

Этот раздел содержит краткую сводку наиболее важных свойств процессов авторегрессии и скользящего среднего. Общий процесс авторегрессии порядка для дискретного времени порождается чисто случайным процессом с помощью разностного уравнения

Для непрерывного времени общий процесс авторегрессии определяется как выход линейного фильтра, на вход которого подается белый шум, а соотношение между входом и выходом определяется дифференциальным уравнением

где, как отмечалось выше, изменяет разрывным образом

Устойчивость, или стационарность. 1) Дискретный процесс. Дискретный процесс авторегрессии является стационарным, если корни характеристического уравнения

лежат внутри единичного круга

2) Непрерывный процесс. Непрерывный процесс авторегрессии будет стационарным, если корни характеристического уравнения

имеют отрицательные действительные части.

В разд. 5.2.2 отмечалось, что условие стационарности совпадает с условием устойчивости соответствующей линейной системы. Поэтому условия (5.2.41) и (5.2.42) получаются из условий (2.3.38) и (2.3.20).

Корреляционная функция. 1) Дискретный процесс. Корреляционная функция дискретного процесса удовлетворяет разностному уравнению

Общее решение этого разностного уравнения имеет вид

где — корни (возможно, комплексные) уравнения (5.2.41). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что в (5.2.44) получаются члены вида Поэтому, вообще говоря, корреляционная функция будет содержать показательные члены и затухающие синусоидальные волны. Константы в (5.2.44) можно найти, решая первые уравнений (5.2.43) относительно как показано ниже.

2) Непрерывный процесс. Корреляционная функция непрерывного процесса удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это уравнение имеет общее решение

где — корни уравнения (5.2.42). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что получаются члены вида

Доказательство. Мы докажем упомянутое выше результаты только для дискретного случая. Если обе части равенства

умножить на получим

Беря математическое ожидание от обеих частей, получаем

Поскольку случайную величину можно выразить в виде

и так как это выражение не содержит то Отсюда получается результат (5.2.43).

Пример. Корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка удовлетворяет рекуррентному уравнению

Это уравнение имеет решение

где корни характеристического уравнения Отсюда

Далее, уравнение (5.2.47) при имеет вид

Отсюда

так как получаем

Отсюда

и, таким образом,

что согласуется с (5.2.37) для

Свойство дискретизации по времени. Если значения непрерывного процесса авторегрессии (5.2.40) измерять через равные промежутки времени А, то получится дискретный процесс

где — чисто случайный процесс. Уравнение (5.2.49) представляет собой смесь дискретного процесса скользящего среднего (5.2.23) и дискретного процесса авторегрессии (5.2.39). Отметим интересную особенность (5.2.49): в то время как исходный непрерывный процесс имел в качестве входа белый шум, дискретный процесс

авторегрессии имеет в качестве входа процесс скользящего среднего, порядок которого на единицу меньше порядка дифференциального уравнения, описывающего систему. Следовательно, этот вход будет иметь ненулевые корреляции лишь для первых запаздываний. Результат (5.2.49) получен в [8.]

Общие смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общим образом можно определить смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего в виде

где не связано с т. Для стационарности требуется, чтобы корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты лежали внутри единичного круга.

Для непрерывного времени смешанный процесс принимает вид

Из (2.3.19) следует, что условия стационарности, или устойчивости, непрерывного процесса (5.2.51) заключаются в том, что и корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты имеют отрицательные действительные части.

Важность модели (5.2.50) состоит в следующем: в то время как модель, основанная на чисто авторегрессионном процессе или на чистом процессе скользящего среднего, может потребовать большого числа параметров, для смешанной модели (5.2.50) их может потребоваться относительно немного.