6.2.2. Интеграл от спектральной плотности (спектральная функция)

Случаи, когда спектральной плотности не существует. Ранее спектральная плотность была определена с помощью предела

при условии, что этот предел существует. Чтобы была конечной, достаточно выполнения неравенства

где — конечная константа. Следовательно, достаточное (но не необходимое) условие существования конечной спектральной плотности состоит в том, что убывает достаточно быстро при и так что интеграл (6.2.9) сходится.

В качестве примера случайного процесса, для которого это условие не выполнено, рассмотрим процесс

где А и В — независимые случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией Каждая реализация является косинусоидальной волной имеющей постоянную амплитуду, частоту и фазу. Но при переходе от одного члена ансамбля к другому амплитуда и фаза изменяются случайным образом, в то время как частота остается фиксированной. Из (6.2.10) получаем

Следовательно,

Функция не стремится к нулю при так что для нее интеграл (6.2.9) расходится. Однако можно определить спектральную плотность через -функции, используя

Следовательно, спектральную плотность случайного процесса (6.2.10) можно считать равной двум -функциям, имеющим площадь и сосредоточенным на частотах

Интеграл от спектральной плотности (спектральная функция).

Даже в том случае, когда спектральная плотность содержит -функции, имеет смысл говорить о дисперсии процесса, в котором оставлены только частоты, не превосходящие некоторой частоты Эту дисперсию формально можно получить, интегрируя спектральную плотность. Так, интегрируя (6.2.2) от до мы получаем спектральную функцию.

Эта функция похожа на функцию распределения, так же как нормированный спектр похож на плотность вероятности. Таким образом, мы имеем

и

при Если спектральная плотность содержит -функцию на частоте содержит компоненту к то спектральная функция имеет скачок величины к на частоте

Для дискретного времени спектральная функция имеет вид