4.3.4. Ортогональность

В рассмотренном выше примере оценки наименьших квадратов для параметров модели (4.3.16) имели отличную от нуля ковариацию, а в уравнение доверительного эллипса для входило произведение вида . Типичная доверительная область для модели (4.3.16) показана на рис. где видно, что оси эллипса наклонены по отношению к осям Следовательно, нельзя определить доверительный интервал для отдельно. В предельном случае очень высокой корреляции могло бы случиться, что очень широкий диапазон значений выборочных оценок был бы в согласии с данными.

Можно, однако, по-новому параметризовать эту задачу, так что полученные оценки будут некоррелированы, т. е. ортогональны.

(кликните для просмотра скана)

Для двухпараметрической модели ортогональная параметризация - имеет вид

Из (П4.1.7) получаем выборочные оценки наименьших квадратов

и из

где

-ная доверительная область для является эллипсом

который не имеет члена произведением переменных из-за отсутствия корреляции между оценками. Типичная доверительная область такого вида показана на рис. Поскольку в этом случае оси эллипса параллельны осям параметров, можно определить отдельные доверительные интервалы для каждого из двух параметров.

Если то способ вычитания среднего значения дкак это делалось в (4.3.21), не приводит к ортогональной параметризации. Однако при этом оценки становятся ближе к ортогональным, чем без вычитания средних, и, в частности, они будут ортогональны к постоянной составляющей модели. Поэтому лучше подбирать модель вида

чем модель

В приложении П4.1 показано, что результаты этого раздела легко обобщаются на случай, когда имеют произвольную матрицу ковариаций.