4.3.3. Доверительные области для нескольких параметров

Распространение результатов разд. 4.3.2 на случай оценки нескольких параметров наиболее быстро получается с помощью теории матриц. Эти результаты выведены в приложении а в настоящем разделе лишь кратко резюмированы. В приложении показано, что доверительный интервал заменяется в случае нескольких параметров доверительной областью в -мерном пространстве параметров Показано также, что еще одна интерпретация оптимальности оценок наименьших квадратов состоит в том, что они минимизируют объем доверительной области для параметров. Для любого отдельного параметра это означает, что оценка наименьших квадратов минимизирует длину доверительного интервала по координате, соответствующей этому параметру.

Для измерений и параметров результаты, выведенные в приложении можно резюмировать следующим образом.

Нормальные уравнения:

или в скалярной форме

где, например,

Матрица ковариаций оценок:

или в скалярной форме

Выборочная оценка остаточной дисперсии:

или в скалярной форме

100(1 - а)%-ная доверительная область:

или в скалярной форме

где

Дисперсия прогноза:

или в скалярной форме

Пример, Для иллюстрации приведенных выше результатов рассмотрим частный случай — двухпараметрическую модель:

Выборочные оценки наименьших квадратов получаемые из (П4.1.7), выведены в приложении Они имеют вид

Из (П4.1.19) получаем выборочные оценки ковариаций оценок

где выборочная дисперсия получается из (П4.1.12):

Наконец, используя (П4.1.15), получаем -ную доверительную область для