4.4.6. Оценивание среднего значения и дисперсии нормального распределения

Чтобы проиллюстрировать описанные в предыдущих разделах способы получения выводов, основанных на правдоподобии, рассмотрим задачу оценивания среднего значения и дисперсии по выборке наблюдений, которые по предположению имеют нормальную плотность вероятности. Воспользовавшись (4.2.1), получаем функцию правдоподобия для в виде

Удобный способ описания двумерных правдоподобий состоит в построении на плоскости контуров постоянного уровня функции правдоподобия. Если функция правдоподобия является двумерной нормальной функцией, то эти контуры будут эллипсами; в противном случае можно иногда так преобразовать параметры, что функция правдоподобия будет приблизительно двумерной нормальной функцией.

Так как функция правдоподобия (4.4.17) является нормальной по отношению к то необязательно искать преобразование этого параметра. К тому же, гак как оценки для независимы, то необходимо найти лишь преобразование для

Из (4.4.17) получаем

и

Получаем выборочные оценки максимального правдоподобия

и в точке, координаты которой равны этим оценкам, выражение (4.4.18) становится равным

Отсюда, пользуясь (4.4.16), получаем, что преобразование, приводящее к нормальному распределению, имеет вид

Рис. 4.7. Контуры линий уровня правдоподобия для среднего значения и дисперсии нормальных наблюдений при

Функция правдоподобия для данных о транзисторах, изображенных на рис. 3.3, показана на рис. 4.7 как функция Мы видим, что контуры функций правдоподобия очень близко аппроксимируются эллипсами в области, где функция существенна.

Маргинальные правдоподобия. Двумерная функция правдоподобия (4.4.17), если ее построить как функцию и ведет себя в сущности как произведение двух нормальных распределений. Проинтегрировав по мы получим маргинальное правдоподобие для , а именно

(кликните для просмотра скана)

Далее, двумерная функция правдоподобия приблизительно нормальна по переменным так что маргинальное правдоподобие для можно получить, проинтегрировав по т. е.

Маргинальные правдоподобия (4.4.19) и (4.4.20) показаны на рис. 4.8 и 4.9 для данных о транзисторах, приведенных на рис. 3.3. Маргинальное правдоподобие для построено как функция от а маргинальное правдоподобие для построено как функция от Отметим, что маргинальное правдоподобие для пропорционально -распределению, а маргинальное правдоподобие для -распределению. Отсюда вероятные области для в этом примере были бы точно такими же, как в разд. 4.2, где они были получены с помощью метода выборочных распределений.