3.3.5. Два свойства «хи-квадрат»-распределения

Приближение с помощью -распределения. -распределение занимает центральное место в вопросах приближения распределений сглаженных оценок спектральной плотности. Вообще, случайная величина полезна для приближения случайной величины, скажем принимающей только положительные значения. Предположим, например, что требуется аппроксимировать плотность вероятности положительной случайной величиной У с помощью плотности вероятности случайной величины где пока не определены. Предполагается, что первые два момента даны. Тогда, если их приравнять первым двум моментам которые можно вывести из (3.3.6), то получим

Решая эти уравнения относительно получаем

откуда получаем параметры аппроксимирующего -распределения, выраженные через первые два момента

Теорема разложения для случайных величин, подчиняющихся -распределению. Предположим, что случайная величина разлагается на случайных величин в виде

Тогда можно показать [4, 7], что если

то взаимно независимы. Обратно, если независимы, то имеет место (3.3.16).

Простое приложение этого очень важного свойства состоит в следующем. Предположим, что независимых случайных величин, распределенных Тогда

В левой части равенства стоит случайная величина а первый член в правой части, будучи квадратом величины, распределенной как является величиной Теперь можно проверить, что случайные величины и независимы и, следовательно, две случайные величины в правой части независимы. Результат (3.3.16) в этом случае утверждает, что второй член распределен как

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)