Глава 5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В этой главе мы рассмотрим основные понятия теории временных рядов. Наиболее важными среди них являются понятия случайного процесса, стационарного процесса, линейного стационарного процесса и ковариационной функции стационарного процесса. В разд. 5.1 показано, что для описания статистической природы наблюденного временного ряда нужно рассматривать его как элемент абстрактного множества функций, называемого случайным процессом. Простейшим типом случайного процесса является линейный процесс, который можно получить в результате линейной операции над чисто случайным процессом. Большое практическое значение имеют два частных случая линейного процесса: процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего. В разд. 5.2 показано, что стационарный случайный процесс общего типа удобно описывать с помощью его ковариационной функции, в то время как линейный стационарный процесс лучше всего описывается его параметрами. В разд. 5.3 рассматривается оценивание ковариационной функции по наблюдаемому временному ряду, а в разд. 5.4 — оценивание параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего.

5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

5.1.1. Определение и классификация временных рядов

Под статистическим временным рядом понимают сигнал, или функцию времени x(t), проявляющую свойства случайности, или нерегулярного изменения. Имея запись такого ряда, невозможно точно предсказать его будущие значения в отличие от детерминированного сигнала, как указывалось в гл. 2. Следовательно, такой ряд может быть описан только с помощью статистических законов, или моделей, которые можно было бы использовать, например, для прогноза будущих значений ряда. Примерами таких статистических рядов являются:

а) напряжение в сети, флуктуирующее из-за случайного движения электронов, которое называют обычно тепловым шумом;

б) флуктуирующий выход продукции химического реактора, измеряемый непрерывно с помощью инфракрасного спектрометра;

в) выходное напряжение приемного устройства радиолокатора. Типичный отраженный радиолокационный сигнал показан на рис. 5.1.

Дискретные и непрерывные ряды. Временные ряды в примерах и являются непрерывными измерениями и называются непрерывными временными рядами. Другой тип рядов представляют собой дискретные временные ряды, значения которых заданы только в определенные моменты времени.

Рис. 5.1. Отраженный радиолокационный сигнал.

Один из способов, с помощью которых может быть получен дискретный временной ряд, состоит в отсчете значений непрерывного временного ряда через равные промежутки времени, скажем Записывая мы получим последовательность , образующую дискретный временной ряд.

Непрерывные временные ряды в примерах и должны быть записаны с помощью физического инструмента, обладающего инерцией. Поэтому такие ряды имеют ограниченную полосу частот, т. е. они не содержат частот выше некотс рой максимальной частоты, определяемой частотной характеристикой инструмента. Таким образом, используя теорию гл. 2, можно определить интервал отсчета так, чтобы дискретный временной ряд полученный из значений непрерывного временного ряда содержал бы всю информацию, имевшуюся в исходном ряде Следовательно, непрерывный временной ряд можно анализировать либо в аналоговой (непрерывной), либо в цифровой (дискретной) форме.

Дискретный временной ряд может также получаться, когда физическая величина не имеет мгновенных значений, а приобретает смысл лишь в накопленном, или проинтегрированном по соответствующему временному интервалу, виде. Примерами таких накопленных рядов являются цифры суточных осадков, даваемые метеостанцией, или же выход продукции в последовательных партиях некоторого промышленного процесса. Пример дискретного временного ряда приведен на рис. 5.2, где показаны значения накопленной выходной продукции в 70 последовательных партиях,

полученных на дистилляционной колонке, в зависимости от номера партии. Данные, по которым построен этот рисунок, даны в табл. 5.1. Заметим, что, хотя данные и подчиняются определенной высокочастотной структуре, предсказать точное значение следующей партии невозможно.

Многомерные временные ряды. Во многих случаях представляет интерес вектор

состоящий из временных рядов. В этом случае называют многомерным временным рядом.

Рис. 5.2. Выход продукции в 70 последовательных партиях промышленного процесса.

Так, например, мы имеем двумерный временной ряд в радиолокации, когда является «курсовым углом цели» радиолокатора по азимуту, a - «курсовым углом цели» по возвышению. Заметим, что эти два временных ряда равноправны в том смысле, что ни один из них не влияет на другой, ибо они характеризуют различные виды движения радиолокационной антенны.

Иногда являются входными сигналами некоторой физической системы, -соответствующими выходными сигналами той же системы. Например, могло бы характеризовать скорость потока холодной воды у впускного отверстия в водонагреватель, — температуру потока у выпускного отверстия. Зная устройство водонагревателя, можно сделать разумный прогноз ряда по ряду . В этом случае временные ряды неравноправны, поскольку изменения могут вызвать изменения в но не наоборот.

Таблица 5.1. (см. скан) Выход продукции в 70 последовательных партиях промышленного процесса

Теперь должно быть ясно, что слово «ряд» во временных рядах употребляется весьма вольно для обозначения непрерывных функций времени или же дискретных последовательностей упорядоченных во времени. Слово «время» также употребляется весьма вольно в том смысле, что t может относиться к некоторому другому физическому параметру, такому, как пространственная координата. Например, при изучении вибрации самолета иногда производят эксперименты, в которых датчики деформации прикрепляются к крылу или к какой-нибудь другой части самолета, и флуктуирующие напряжения в этой структуре измеряются на различных высотах полета. Хотя самолет летит в течение некоторого промежутка времени, полученная запись является скорее функцией области в пространстве, пересекаемой самолетом, чем функцией времени.

Временные ряды, зависящие от нескольких переменных. В некоторых случаях ряд является функцией нескольких физических параметров . В этом случае он называется случайным полем. Например, может представлять измерения локальных флуктуаций магнитного поля Земли в точке с координатами . В других случаях изучаемый процесс может быть многомерным, а также зависеть от нескольких переменных. Например, геофизики заинтересованы в исследовании соотношения между магнитным полем Земли и глубиной океана