Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9. Полубесконечная струна.Метод решения задачи для бесконечной струны, рассмотренный в п. 7, легко применить и к случаю полубесконечной струны. Мы предположим теперь, что струна в состоянии покоя располагается на положительной полуоси
и начальным условиям, заданным при
необходимо добавить еще одно краевое условие:
Из условий (2.13) и (2.14) следует, что При исследовании этой задачи мы особое внимание уделим колебаниям струны вблизи закрепленного конца и рассмотрим важный вопрос об отражении волн. Решение уравнения (2.12) при условиях (2.13) и (2.14) йожет быть получено из формулы Даламбера (2.8) следующим образом. Допустим, что функции
Чтобы
т. е. как говорят, функции
Теперь это выражение определено для всех х и t и при Так же, как и раньше, укажем геометрический способ построения решения Рассмотрим сначала волну отклонения. Пусть функция Начало процесса будет полностью соответствовать случаю бесчонечной струны (см. п. 7); заданное отклонение следует разбить на две полуволны — одна из них будет распространяться вправо, а другая влево.
Рис. 13. Как только полуволна, бегущая влево, дойдет до начала координат, туда же подойдет и полуволна, бегущая вправо по отрицательной полуоси. В последующие моменты времени эти полуволны начнут накладываться друг на друга, что и соответствует процессу отражения. Весь процесс отражения показан на рис. 14. Сначала отражающаяся волна укорачивается, потом исчезает и наконец переворачивается. (Если начальная форма волны не симметричная, то полного исчезновения отклонений может и не быть.)
Рис. 14. Таким образом, после того как волна полностью отразилась, отклонения точек меняют свой знак: как говорят, фаза волны изменила знак. После этого по струне побегут вправо с одинаковой скоростью две волны, находящиеся в противоположных фазах. (На рис. 14 изображена только отраженная волна; волна, с самого начала уходившая вправо, не показана.) Если мы захотим составить аналитическое выражение для функции Перейдем к рассмотрению волны импульса и снова будем считать, что только точки участка
Рис. 15
Рис. 16 Начало процесса распространения волны полностью соответствует бесконечной струне, но как только левый конец волны подойдет к началу координат, туда же подойдет и правый конец аналогичной волны, распространяющейся от симметричного участка В случае конечной струны для получения решения можно было бы применить метод Даламбера, воспользовавшись отражением от обоих концов страны (см. стр. 66). Однако для конечной струны этот метод значительно менее нагляден
|
1 |
Оглавление
|