Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
61. Задача Дирихле для полупространства.Для полупространства
где
и границею Г служит плоскость Действительно, при этом
(так как внешняя нормаль к Г направлена вниз, в сторону офицательных z), а
Следовательно,
Граничные значения и здесь заданы на плоскости
Интеграл (19.11) называется интегралом Пуассона для полупространства. Если ввести в пространстве цилиндрические координаты, положив
Следует иметь в виду, что интегралы (19.11) и (19.12) несобственные и для их сходимости (тем более правильной) граничные значения Ядро Пуассона для полупространства
физически может быть (по аналогии со случаем шара) интерпретировано как стационарное распределение температуры в однородном полупространстве
Рис. 67. Действительно, если
где
т. е., опуская штрихи, ядро Пуассона для полупространства. Как следует из единственности решения задачи Дирихле,
т. е. интеграл от ядра Пуассона для полупространства по всей граничной плоскости равен 1. Это может быть проверено непосредственно интегрированием. Перейдем к примерам. Пример 1. На границе По формуле (19.11)
Очевидно, что это выражение не зависит от
Вычислим внутренний интеграл, обозначив для краткости
Тогда
Таким образом,
В этом случае температурное поле в каждой плоскости Изотермами являются лучи, исходящие из начала координат; луч, наклоненный к положительному направлению оси
Рис. 68. Пример 2. На границе
На оси имеем
Температура Для точек, не лежащих на оси
|
1 |
Оглавление
|