§ 8. Уравнение колебаний мембраны

23. Вывод уравнения колебаний мембраны.

В предыдущих параграфах рассматривались задачи, приводящие к одномерному волновому уравнению

Сейчас мы перейдем к изучению двумерного волнового уравнения, т. е. уравнения вида

Покажем, что к этому уравнению сводится задача о свободных колебаниях однородной мембраны. Говоря о мембране, мы подразумеваем упругую свободно изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в состоянии покоя мембрана занимает некоторую область D в плоскости , а затем, будучи каким-то образом выведена из этого состояния, начи нает колебался так, что все ее точки движутся перпенди кулярно плоскости (поперечные колебания мембраны).

Отклонения точек мембраны от плоскости будем обозначать через . Величина и зависит от координат точки мембраны и от времени t. Функция и является искомой. При фиксированных х и у эта функция дает закон колебания точки мембраны; при этом частные производные и определяют соответственно скорость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать t, то поверхность представляет форму колеблющейся мембраны в момент времени t; с изменением t эта форма, очевидно, будет изменяться. Как известно (см. [1], п. 119), нормаль N к рассматриваемой поверхности имеет проекции знаки проекций выбраны так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Направляющие косинусы нормали находятся но формулам:

Мы будем изучать малые колебания мембраны, т. е. считать угол отклонения нормали от оси настолько малым, что

Из формулы для следует, что при этом мы пренебрегаем квадратами частных производных

можно также принять, что и

Условия (8.2) совершенно аналогичны условию (1.6), введенному при изучении малых колебаний струны. Приняв условия (8.2), получим:

Следовательно, вектор N является единичным векторомс

Вычислим еще площадь поверхности мембраны в произвольный момент времени t. Она выражается интегралом (см. {1], п. 148) .

В силу условий (8.2) заключаем, что изменением площади поверхности мембраны в процессе колебания можно пренебречь. Это, разумеется, относится как ко всей мембране, так и к любой ее части.

Рис. 30

Перейдем теперь от геометрических предположений к механическим. Если вырезать какой-нибудь участок мембраны, то действие отброшенной ее части следует заменить силами, распределенными вдоль контура L выделенного участка. Поскольку мембрана свободно изгибается, то эти силы будут действовать в касательных плоскостях к мембране по направлению нормалей к контуру L (рис. 30). Будем считать, что мембрана находится под действием равномерного натяжения.

Это значит, что величина силы, приложенной к любому элементу линии разреза, равна , т. е. пропорциональна длине элемента . Площадь вырезанной части мембраны во все время колебаний считается неизменной, и поэтому величину 7 также можно считать постоянной

Рис. 31.

Прежде всего найдем равнодействующую сил натяжения, приложенных к контуру L. Выберем направление обхода этого контура, как на рис. 31 и обозначим через вектор, направленный но карательной к контуру и но модулю равный дифференциалу длины дуги (Направление касательной считается совпадающим с выбранным направлением на контуре.)

Если — координаты точек контура, то

Поскольку точки контура лежат на поверхности мембраны, то аппликата и определяется из уравнения при фиксированном L. Поэтому .

Вектор , вдоль которого направлена сила натяжения, перпендикулярен вектору и нормали N (N — нормаль к поверхности мембраны). Следовательно, он имеет направление векторного произведения векюров ; из рис. 31 видно, что векгор направлен как раз в строну отброшенной часш мембраны. Вычисляя векторное произведение, получим

Так как , то . Это значит, что сила натяжения, дейавующая на элемент равна направление ее совпадает с направлением вектора , а величина равна . Проекция этой силы на ось Он равна

Чтобы найти проекцию равнодействующей всех сил натяжения, надо полученное выражение проинтегрировать по контуру L, т. е. вычислить интеграл

Подынтегральное выражение зависит только от х и у, поэтому криволинейный интеграл но конгуру L можно заменить интегралом по контуру L' (L' — проекция на плоскость xOy).

Преобразуя последний интеграл по формуле Грина (см. [1], п. 140), получим

(направление обхода контура L положительно, как это и требуется в формуле Грина).

Воспользовавшись условиями малости частных производных их и , легко проверить, что проекции равнодействующей сил натяжения на оси Ох и Оу равны нулю. Действительно,

Но

а , очевидно, равен нулю, как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения.

Чтобы вывести дифференциальное уравнение колебаний мембраны, выделим бесконечно малый участок области D, окружающей точку . В любой момент времени масса часги мембраны, проектирующейся в этот участок, равна — поверхностная плотность, считающаяся постоянной (мембрана предполагается однородной). Ускорение точек выбранного элементарного участка равно При свободных колебаниях мембраны единственной действующей силой будет проекция на ось сил натяжения, определяемая по формуле (8.4). Применяя к двойному интегралу, взятому по облает теорему о среднем, запишем выражение для этой проекции в виде . Рассматривая выделенный участок как материальную точку и применяя закон Пыотоиа, составим уравнение

Сокращая на и вводя обозначение окончательно получим

Поскольку выражение в скобках есть двумерный оператор Лапласа запишем полученное уравнение в виде

Отметим, что имеется много задач, приводящих к трехмерному волновому уравнению

где — трехмерный оператор Лапласа.

К этому уравнению сводятся задачи колебания газа, находящеюся в некотором объеме, задачи теории распространения звуковых волн (акустические волны) ряд других Решение трехмерных задач еще более сложно, чем двумерных, и мы их касаться не будем, отсылая читателя к более подробным курсам.