§ 21. Метод Фурье для уравнения Лапласа

65. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле для круга.

Метод Фурье разделения переменных, который играет большую роль в задачах колебаний и теплопроводности (см. гл. 1 и 11), применим также к решению уравнения Лапласа и задачи Дирихле для таких простых областей, как круг, прямоугольник и т. п. В этом пункте мы решим методом Фурье задачу Дирихле для круга. Радиус круга обозначим через R, центр поместим в начало координат. Очевидно, что целесообразно решать задачу в полярных координатах. Тогда задача формулируется так: ищется решение уравнения Лапласа

для принимающее на границе круга, т. е. при r = R, заданные значения и

(21.1а)

Метод Фурье заключается в том, что мы сначала ищем решения уравнения (21.1) в виде где неизвестные функции зависят каждая только от одной переменной, соответственно Тогда для этих неизвестных функций из уравнения (21.1) находим:

или

Так как левая часть уравнения (21.2) не зависит от 9, а правая — от , то ни левая, ни правая части этого равенства не могут зависеть ни от , ни от , т. е. являются постоянными:

где — постоянная разделения. Постоянная , как мы сейчас увидим, должна быть неотрицательной.

Второе из уравнений (21.3), имеет общее решение

где А и В — произвольные постоянные. Покажем теперь, что X не может принимать любые значения. Это вытекает из того, что увеличение на возвращает точку <р) в исходное положение; значит, все функции от которые мы рассматриваем, должны быть периодическими по с периодом Таким образом, и а это по формуле (21.4) означает, что должен равняться целому числу Отрицательные мы можем отбросить, так как знак влияет только на знак произвольной постоянной В. Итак, (собственные числа) и

(21.4а)

Вернемся теперь к первому уравнению (21.3), в котором заменим X на

откуда

Это уравнение для функции может быть решено подстановкой причем для показателя а легко получаем уравнение

или

Следовательно,

Второе из этих решений мм должны отбросить, так как при оно обращается в бесконечность в цешре круга Окончательно

Полученное частное решение уравнения Лапласа (21.1), которое мы искали в виде обозначено через так как оно зависит от ; произвольные постоянные гоже зависят от .

В силу линейности и однородности уравнения Лапласа с) частных решений

будет также решением уравнения Лапласа; это решение содержит две бесконечные последовательности неопределенных коэффициентов (произвольных посюяниых) Чтобы придать решению (21.5) вид, напоминающий ряд Фурье, положим

Тогда и может быть записано в виде

(21.5а)

Оставшиеся неопределенными коэффициент мы определим из граничного условия (21.1а), в котором заданная функция также должна быть периодической с периодом Полагая в решении (21.5а) получим граничное условие в виде соотношения

которое представляет собой разложение в ряд Фурье.

По известным формулам для коэффициентов Фурье мы можем теперь установить, что

и

т. е. что

Чтобы получить решение задачи Дирихле для круга, остается только подставить формулы для коэффициентов (21.6) в выражение (21.5а).

Покажем, что полученное решение совпадает с интегралом Пуассона для круга (см. формулу (20.2)). Действительно, подстановка формул (21.6) в выражение (21.5а) дает

Сумма в фигурных скобках может быть вычислена. С этой целью заметим, что согласно формуле Эйлера (см. [1], п. 74)

где означает вещественную часть . Поэтому

Для отношение и ряд

является бесконечной геометрической прогрессией с знаменателем модуль которого

Производя простые преобразования, получим

Чтобы отделить вещественную часть этого выражения, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженный знаменатель:

так что

и

Это и есть интеграл Пуассона для круга (отличие от формулы (20.2) состоит только в том, что вместо мы теперь пишем а вместо применяем переменную интегрирования