Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл.Перейдем теперь к выяснению физического смысла полученного решения (13.17). Как мы уже видели, функция
являющуюся решением исходного уравнения (13.1). Функция Физическим тепловым импульсом мы будем называть следующее начальное распределение температуры:
(см. рис. 44), где Такое начальное распределение температуры возникает, если в стержень, тем пература которого в каждой точке первоначально равна нулю, в момент
Рис. 44. Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией При таком физическом тепловом импульсе в качестве начального распределения температуры решение (13.17) задачи теплопроводности будет иметь вид
По теореме о среднем интегрального исчисления
где Таким образом, решение (13.19) может быть записано и так:
так как
От физического теплового импульса перейдем теперь к точечному (идеальному) тепловому импульсу, устремляя
т. е. в фундаментальное решение (13.18) при значении параметра Точечный тепловой импульс является, конечно, еще в большей мере абстракцией, чем физический импульс на отрезке. Но он также может быть приближенно реализован, если пламя, о котором шла речь выше, будет очень узким. Математически начальное распределение температуры при точечном импульсе представляется так называемой импульсной функцией Дирака b
(последнее объясняется тем, что
так как в наших предположениях Итак, фундаментальное решение Рассмотрим теперь, как распространяется тепло в стержне после ючечного импульса. Для этого надо исследовать графики фундаментального решения Мы установим следующие свойства функции 1. График функции
Рис. 45. Если мы рассмотрим фиксированный момент 2. Площадь под каждой кривой равна 1 (см., например, заштрихованную площадь на рис. 45). Чтобы это доказать, вычислим интеграл
В результате замены переменной:
Физически это означает, что количество тепловой энергии, сообщенной стержню в начальный момент
Рис. 46. 3. В каждой фиксированной точке
Записав последний предел в виде
Разумеется, этого заключения нельзя сделать при Чтобы найти максимальное значение
Приравняв выражение в квадратной скобке нулю, найдем то значение
(Читатель легко проверит, что при этом значении t функция действительно имеет максимум.) Следовательно,
Таким образом, температура в любой точке Нам остается только применить разъясненный выше физический смысл фундаментального решения (13.18) к физическому толкованию решения (13.17). Решение (13.17) задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии (13.2) может рассматриваться как результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке
Рис. 47.
|
1 |
Оглавление
|