Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА III. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА§ 18. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина54. Постановка краевых задач.Уравнением Лапласа называется уравнение
где
Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле (см. § 12). Действительно, если температура Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Если обратиться к «тепловой» иллюстрации, то общим краевым условием является условие (16.112) п. 48. Таким образом, возникает следующая краевая задача: в области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью Г, ищется гармоническая функция и
где Наиболее важным является частный случай Задача Дирихле в пространстве формулируется так: Найти функцию
То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при некоторых весьма общих предположениях относительно Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным. Задача Дирихле может, конечно, интерпретироваться также и в терминах диффузии: ее решением будет стационарная концентрация (см. § 17) при условии, что концентрация на границе известна. Задача Дирихле может быть поставлена
ИЛИ
Задача Дирихле на плоскости формулируется так: Найти функцию
Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые мы разъясним опять на примере тела, распределение температуры в котором стационарно. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция и зависит только В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид В случае задач с осеней симметрией запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Отсюда
Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии, что на поверхпоаях цилиндров поддерживается постоянная температура. (Ясно, что если Наконец, если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами (см. (18.2")), получим уравнение
откуда
(и здесь решение не имеет смысла при Трехмерные и двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены только для сравнительно простых областей (приближенные методы решения мы не рассматриваем). Мы сейчас изложим основы общего метода решения задачи Дирихле, называемого методом функции Грина
|
1 |
Оглавление
|