ГЛАВА III. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

§ 18. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина

54. Постановка краевых задач.

Уравнением Лапласа называется уравнение

где — лапласиан, имеющий в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно следующий вид см. введение, п. 3):

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле (см. § 12). Действительно, если температура не зависит от то и уравнение теплопроводности (16.10) сводится к уравнению Лапласа (18.1). Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции и как температуры очень удобно и наглядно.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Если обратиться к «тепловой» иллюстрации, то общим краевым условием является условие (16.112) п. 48. Таким образом, возникает следующая краевая задача: в области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью Г, ищется гармоническая функция и , удовлетворяющая на границе Г краевому условию ( — направление внешней нормали к Г)

где — функции, заданные на границе Г. В задаче стационарного распределения температуры — температура внешней среды на границе тела.

Наиболее важным является частный случай этой краевой задачи, соответствующий случаю т. е. заданию температуры границы тела: и Эта краевая задача называется задачей Дирихле.

Задача Дирихле в пространстве формулируется так:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения:

То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при некоторых весьма общих предположениях относительно , можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре (которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях.

Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным.

Задача Дирихле может, конечно, интерпретироваться также и в терминах диффузии: ее решением будет стационарная концентрация (см. § 17) при условии, что концентрация на границе известна.

Задача Дирихле может быть поставлена двух измерениях. Если и зависит только от двух пространственных координат, например (или только от в полярной системе координат), то уравнение Лапласа (18.2) или (18.2) принимает более простой вид:

(18.2а)

ИЛИ

Задача Дирихле на плоскости формулируется так:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой кривой Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения:

Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые мы разъясним опять на примере тела, распределение температуры в котором стационарно. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки Г поддерживается при определенной температуре . Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура и будет функцией только

Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси , направляющая Г лежит в плоскости а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре (см. п. 49). Здесь и тоже остается постоянной на любой прямой, пареллельной оси , проходящей в цилиндре, так что

Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция и зависит только одной из координат.

В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функция (стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно). Задача Дирихле имеет в этом случае решение где .

В случае задач с осеней симметрией запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах считая, что и не зависит :

Отсюда , где А и В — произвольные постоянные. Задача Дирихле имеет, как это легко проверить, решение

Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии, что на поверхпоаях цилиндров поддерживается постоянная температура. (Ясно, что если то ) Заметим, что полученное решение теряет смысл при

Наконец, если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами (см. (18.2")), получим уравнение

откуда Поставив задачу Дирихле найдем стационарное распределение температуры в сферическом слое :

(и здесь решение не имеет смысла при

Трехмерные и двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены только для сравнительно простых областей (приближенные методы решения мы не рассматриваем). Мы сейчас изложим основы общего метода решения задачи Дирихле, называемого методом функции Грина