57. Задача Неймана.

В приложениях встречается еще одна краевая задача для уравнения Лапласа, так называемая задача Неймана. Задача Неймана состоит в следующем:

Найти функцию и, удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) Г уравнению Лапласа и на границе Г условию

где — производная по направлению внешней нормами к — функция, заданная на Г.

Прежде всего отметим, что функция на поверхности (или кривой) Г не может быть задана произвольно, Если в формуле (18.5), верной для любых функций , положить то и формула примет вид

Поэтому для любой функции и, гармонической в области V, ограниченной поверхностью Г, должно соблюдаться равенство

Следовательно, граничное значение производной на Г — функция — должно удовлетворять условию

(18.23)

(Аналогично в двумерном случае из формулы (18.13) будет следовать, что где Г — граница области D.)

При соблюдении условия (18.23) задача Неймана всегда имеет решение. При этом очевидно, что вместе с любым решением и решением будет также и . Можно доказать, что других решений задача Неймана не имеет, т. е. что разность двух любых решений задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной.

Задача Неймана играет важную роль в теории волновых процессов, в частности в теории электромагнетизма.

Метод функции Грина может быть применен и к решению задачи Неймана на основе формул (18.6) (для пространства) и (18.14) (для плоскости). Но функция Грина G для задачи Неймана должна быть определена несколько иначе. Мы по-прежнему полагаем , где для пространства и для плоскости; однако на функцию гармоническую во всей области V, накладываем теперь краевое условие

Применяя формулу (18.6), можно доказать, что если положить где S — площадь поверхности Г (или, в двумерном случае, где l — длина кривой Г), то интеграл от взятый по границе Г области V, будет равен нулю, т. е. что условие (18.22) будет соблюдаться.

Тогда

и, рассуждая так же, как в пп. 55 и 56, мы придем к решению задачи Неймана

(18.24)

(в пространстве) и

(18.25)

(на плоскости); как уже отмечено, функция и определяется с точностью до произвольной постоянной.

Задачу Дирихле часто называют первой краевой задачей для уравнения Лапласа, а задачу Неймана — второй краевой задачей. Рассматривается еще третья краевая задача-, найти функцию и, удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) Г уравнению Лапласа и на границе Г условию

где — функции, заданные на Г. Очевидно, что задачи Дирихле и Неймана являются частными случаями этой задачи. Однако третьей краевой задачи мы касаться не будем.