40. Примеры.
Пример 1. Пусть начальное распределение температуры
(см. рис. 47).
Тогда в качестве решения по формуле (13.17) мы получим
(13.23)
Эта функция выражается через одну важную специальную функцию, называемую интегралом вероятностей:
(13.24)
Действительно, полагая в нашем решении 
найдем, что
Остановимся на свойствах функции 
функция нечетная: 
. Действительно,
Последнее равенство следует из того, что подынтегральная функция четная.
Далее, если 
, то 
стремится к интегралу 
. Следовательно,
График функции 
изображен на рис. 48; для этой функции имеются специальные таблицы
Исходя из свойств функции 
нетрудно проверить, что функция (13.25) действительно удовлетворяет начальному условию.
Рис. 48.
Рис. 49.
Если или 
то оба аргумента 
и 
при 
одновременно стремятся или к 
(при 
), или 
при 
, в обоих случаях значения функций, стоящих в квадратых скобках формулы (13.25), стремятся к одному и тому же пределу 
или 
, а их разность — к нулю.
Если же 
то первый аргумент стремится к 
а второй к 
; выражение в скобках при этом стремится к 
, т. е. 
Наконец, если 
или 
(точки разрыва начального распределения температур), то при 
температура 
Пример 2. Псть начальное распределение температуры
(см. рис. 49). Тогда формула (13.17) дает
Полагая вновь 
преобразуем решение к виду
Полученное решение имеет довольно громоздки вид, но оно позволяет судить о поведении температуры в стержне. Легко проверить, что оно является четной функцией от 
что начальное условие выполняется и что 
при 
в любой точке 
. Установим, как понижается температура в точке 
где 
. Покажем, что полученное выражение для и 
может быть преобразовано следующим образом. Заметим, что производная выражения, стоящего в прямых скобках, равна
кроме того, само это выражение стремится к 0 при 
, так как 
. Поэтому
Поскольку 
Ддя больших t, т. е. малых значений верхнего предела 
Пример 3. Показать, что если 
, то
показать, что в тех точках стержня, в которых кривая начального распределения температуры выпукла 
температура монотонно убывает к нулю с возрастанием t, а в тех точках, 
эта кривая вогнута 
температура сначата повышается до 
а затем уже монотонно убывает к нулю.
Пример 4 Показать, что если 
, то
покэзатц что
для больших 
