§ 2. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера

6. Бесконечная струна. Формула Даламбера.

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, мы рассмотрим более простую задачу — о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.

Рассматривая свободные колебания, мы должны, таким образом, решить однородное уравнение

при начальных условиях

где функции заданы на всей числовой оси. Никакие краевые условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Метод решения ее, который мы сейчас изложим, называется методом Даламбера или методом бегущих волн.

Прежде всего покажем, что общее решение уравнения (2.1), т. е. решение, зависящее от двух произвольных функций (см. введение), имеет вид

где функции предполагаются дважды дифференцируемыми.

Действительно, последовательно дифференцируя, находим:

Отсюда ясно, что

т. е. что равенство (2.1) соблюдается.

Наша задача состоит теперь в том, чтобы, пользуясь начальными условиями (2.2), определить неизвестные функции . Полагая в (2.3) и подсгавляя выражение для в первое из условий (2.2), получим

Полагая теперь в выражении для и пользуясь вторым условием (2.2), придем к уравнению

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до получим соотношение

которое приведем к виду

где — некоторая постоянная величина.

Из системы уравнений (2.4) и (2.6) находим искомые функции

Заменяя в формулах (2.7) аргумент соответственно на и подставляя полученные выражения в формулу (2.3), найдем функцию

Замечая, что

придадим решению следующий вид:

Формула (2.8) называется решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний струны.

Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что найденная функция действительно удовлетворяет как уравнению (2.1), так и условиям (2.2).

Для того чтобы выяснить физический смысл полученного решения, рассмотрим прежде всего в отдельности функции, входящие в общее выражение (2.3) для . Начнем с функции и построим графики этой функции при возрастающих значениях и т. д. (на рис. 5 они расположены сверху вниз).

Рис. 5.

Второй график будет сдвинут относительно первого на величину третий — на величину и т. д. Если по очереди проектировать эти рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов.) При этом, если мысленно перемещаться вправо вдоль струны с постоянной скоростью а, то отклонение струны будет казаться все время постоянным.

Действительно, начав движение, скажем, в точке и переместившись за время t в точку х, будем иметь

Но тогда

Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент в уравнении колебаний струны является скоростью распространения волны.

С частным случаем распространения волн, именно с синусоидальными волнами, читатель должен быть уже знаком из курса физики. При этом, если скорость распространения такой волны равна а и точка, совпадающая с началом координат, колеблется по закону , то отклонение и равно

Записав последнее выражение в виде сразу замечаем, что это функция аргумента (или, что то же самое, аргумента ).

Второе слагаемое формулы (2.3), функция будет представлять такой же процесс, но только волна будег распространяться со скоростью а влево (рис. 5 будет показывать моментальные снимки такой волны, если на него смотреть снизу вверх, т. е. считать

Теперь мы перейдем к исследованию решения, даваемою формулой Даламбера (2.8), и рассмотрим два наиболее интересных случая: когда отсутствуют начальные скорости и когда отсутствуют начальные отклонения Общий случай будет являться результатом наложения (суперпозиции) обоих случаев.