16. Примеры.

Пример 1. Пусть однородный стержень плотности и длины l, закрепленный в точке растянут силой Р, приложенной к другому его концу. В момент времени действие силы мгновенно прекращается, после чего стержень предоставлен самому себе. Найдем возникающие продольные колебания стержня.

Будем считать, что сила Р, действующая на стержень в начальный момент, такова, что применим закон Гука, и найдем начальное смещение точек стержня . Так как в каждом сечении сила натяжения Т постоянна и равна Р, то по формуле (5.2)

где Е — модуль упругости, S - площадь поперечного сечения. Интегрируя и учитывая, что (стержень при закреплен), получим

т. е. смещение любого сечения в начальный момент пропорционально его абсциссе. (Заметим, что если бы стержень сжимался силой Р, то в выражении для ) изменился бы только знак.) Так как начальные скорости равны нулю, то и все обращаются в нуль. Найдем теперь по формуле (6.15) коэффициенты

Подставляя выражения для в формулу (5.14), получим функцию , описывающую продольные колебания стержня:

где

Так как при

то на свободном конце стержня все гармоники имеют пучность (см. стр. 63). Ясно, что в закрепленном конце всегда будет узел. Первая гармоника имеет частоту ; это есть основная частота колебаний стержня. Частоты остальных гармоник будут получаться при умножении основной частоты на последовательные нечетные числа.

Пример 2. Пусть стержень примера 1 выводится из состояния равновесия ударом по его свободному концу в продольном направлении. Найдем возникающие колебания стержня, если импульс, сообщенный стержню при ударе, равен

В этом примере наибольшую трудность представляет формулировка начальных условий. Сообщение стержню ударного импульса приводит к тому, что точки его свободного конца получают начальные скорости Удар предполагается мгновенным, поэтому начальные скорости, строго говоря, должны получать только те точки стержня, которые лежат в сечении . Однако физически это нереально. Ведь по второму закону Ньютона сообщенный импульс должен быть равен изменению количества движения, т. е. произведению массы на скорость, а масса сечения стержня очевидно, равна нулю.

Поэтому мы выделяем малый участок стержня и считаем, что все его точки получили в результате удара одну и ту же скорость . Масса выделенного участка равна , где — плочностьстержня и - площадь поперечного сечения. Приравнивая изменение количества движения импульсу силы, получим

откуда

Функции определяющие начальное состояние стержня, будут равны:

(знак минус берется потому, что скорость направлена в отрицательную сторону оси ). Коэффициенты, входящие в общую формулу (5.14), находим по формулам (5.15):

Так как

то

В полученных выражениях для легко перейти к пределу при Поскольку

то, обозначая получим

Подставляя выражения для в формулу (5 14), окончательно получим

Если нас интересуют колебания конца стержня, то мы должны положить тогда

Период колебания . Смещение равно нулю при . Наибольшее смещение конца стержня от положения равновесия будет при

Сумма написанного ряда, как известно, равна — (этот числовой ряд получается, если в разложении ; в ряд Маклорена принять ; см. |1], п. 194). Поэтому

где Е — модуль упругости.

Пример 3. Пусть стержень длины конец которого закреплен, находится в состоянии покоя. В момент к его свободному концу приложена сила Q, действующая вдоль стержня. Показать, что задача сводится к решению уравнения свободных колебаний стержня (5 6) с условиями и и что колебания стержня описываются функцией