38. Преобразование решения уравнения теплопроводности.

Для того чтобы решение (13.13) можно было физически истолковать, необходимо его преобразовать. Прежде всего заметим, что если в правой части формулы (13.13) изменить порядок интегрирования, то получится следующая формула для

где внутренний интеграл по в правой части уже не содержит заданной функции . Если мы произведем замену переменной и введем обозначение , то будем иметь

Интеграл

может быть вычислен следующим специальным приемом. Во-первых, мы замечаем, что есть интеграл Пуассона

Образуем далее (см. формулу (17) введения) производную . Преобразуем , интегрируя по частям:

Так как внеинтегральный член обращается в нуль при и . Решая получившееся дифференциальное уравнение для функции , получаем

Пользуясь тем, что , находим произвольную постоянную: .

Итак,

а так как , то

Подставляя найденное выражение а формулу , окончательно найдем, что

(13.15)

После того как решение (13.13) преобразовано к виду (13.15), можно непосредственно проверить, что функция удовлетворяет уравнению (13.4) и начальному условию (13.5). Второе легче всего сделать, если вместо ввести новую переменную интегрирования:

и записать интеграл (13.15) в таком виде, чтобы уже не стояло в знаменателе, т. е.

Тогда

т. е. условие (13.5) выполняется.

Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция (13.15) уравнению (13.4), заметим, что функция

(13.16)

является решением уравнения (13.4) при любом . Действительно,

и

Следовательно, т. е. уравнение (13.4) удовлетворяется. Поэтому функция полученная интегрированием функции по параметру , также является решением уравнения (13.4) (см. п. 2 введения).

Чтобы от функции , являющейся решением уравнения (13.4) с начальным условием (13.5), перейти к решению исходного уравнения — a с начальный условием мы должны вспомнить, что и тогда по формуле (13.15) получим

(13.17)