Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.В этом пункте мы рассмотрим вспомогательный вопрос о выражении оператора Лапласа в различных системах координат; эти выражения понадобятся нам в дальнейшем. Напомним, что трехмерным оператором Лапласа
где
называется двумерным. Начнем с двумерного оператора Лапласа и произведем замену декартовых координат х и у полярными
Если в функцию По правилу дифференцирования сложной функции
Для отыскания частных производных
Поскольку
Заменяя
Подставив (22) и (23) в равенства (21), окончательно найдем выражения частных производных и через переменные
Перейдем к отысканию вторых производных. Применим к производной опять правило дифференцирования сложной функции
Из равенств (24)
Умножим теперь первое равенство на
Совершенно аналогично, воспользовавшись соотношением
найдем, что
Складывая (25) и (26), окончательно получим выражение оператора Лапласа в полярных координатах:
Последнее выражение очень часго бывает удобно записать в следующем виде:
Тождественность правых частей формул (28) и (27) легко проверяется дифференцированием. Перейдем к трехмерному случаю и начнем с цилиндрических координат. Цилиндрические координаты
Функция
Для сферических координат
в которых
Эту формулу часто записывают в виде
Предоставляем читателю проверить тождественность обеих формул.
|
1 |
Оглавление
|