§ 5. Цилиндрические поверхности.

Положим, что данное уравнение не содержит переменной z:

На плоскости координат хОу это уравнение определяет некоторую линию L — геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Этому уравнению удовлетворяют также координаты всех тех точек пространства, у которых две первые координаты совпадают с координатами любой точки линии L, т. е. тех точек пространства, которые проектируются на плоскость хОу в точки линии L. Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию L (рис. 109). Вообще поверхность, образованная прямыми, параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию L, называется цилиндрической. Линия L называется ее направляющей, а прямые, образующие цилиндрическую поверхность, — образующими. Итак, уравнение определяет цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Oz.

Рис. 109.

Обратно, всякая цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси может быть представлена уравнением вида Действительно, направляющая линия L может быть в этом случае взята в плоскости координат хОу и ее уравнение, рассматриваемое в пространстве, будет определять данную цилиндрическую поверхность.

Точно так же, если уравнение не содержит переменного , то оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси

Пример 1. Уравнение

определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть эллипс, лежащий в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (эллиптический цилиндр).

Пример 2. Уравнение

определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть гипербола, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси (гиперболический цилиндр).

Пример 3. Уравнение

определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть парабола, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси (параболический цилиндр).