§ 4. Пересечение двух линий.

Среди различных геометрических задач одно из важных мест занимает задача нахождения точек пересечения двух данных линий.

Пусть эти линии определяются соответственно уравнениями

Если существует точка их пересечения, то, очевидно, она лежит и на той и на другой линии. Поэтому координаты ее должны удовлетворять каждому из данных уравнений, и, наоборот, всякая точка, координаты которой удовлетворяют этим двум уравнениям, лежит на обеих линиях. Следовательно, чтобы найти точки пересечения двух данных линий, нужн» совместно решить их уравнения. Каждое действительное решение этой системы уравнений даст точку пересечения. Если же окажется, что эта система несовместна или во всех ее решениях хотя бы одно из чисел или у имеет мнимое значение, то это будет означать, что данные линии не пересекаются.

Пример. В § 1 настоящей главы было выведено уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R в виде

Возьмем радиус, равный 5 единицам. Тогда уравнение такой окружности примет вид: . В примере 1 того же параграфа было выведено уравнение некоторой прямой

Пусть требуется найти точки пересечения этих линий. Для этого нужно решить систему уравнений

Из последнего уравнения имеем:

Подставляя это выражение у в первое уравнение, получим:

После упрощений будем иметь:

откуда

Подставляя эти значения в ранее найденное выражение у, получим:

Следовательно, данные линии имеют две точки пересечения (0, 5) и (-4, -3).