§ 8. Основные свойства скалярного произведения.

I. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из векторов является нулевым или если векторы перпендикулярны. В самом деле, если или , или то .

Обратно, если и перемножаемые векторы не являются нулевыми, то потому что из условия

при вытекает:

Так как направление нулевого вектора неопределенно, то нулевой вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения может быть сформулировано короче: скалярное произведение обращается в нуль в том и только том случае, когда векторы перпендикулярны.

II. Скалярное произведение обладает свойством переместительности:

Это свойство непосредственно вытекает из определения:

потому что различные обозначения одного и того же угла.

III. Исключительно важное значение имеет распределительный закон. Его применение столь же велико, как и в обычной арифметике или алгебре, где он формулируется так: чтобы умножить сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить полученные произведения, т. е.

Очевидно, что умножение многозначных чисел в арифметике или многочленов в алгебре основано на этом свойстве умножения.

Такое же основное значение имеет этот закон и в векторной алгебре, так как на основании его мы можем применять к векторам обычное правило умножения многочленов.

Докажем, что для любых трех векторов А, В, С справедлива равенство

    (12)

По второму определению скалярного произведения, выражаемому формулой получим:

Применив теперь свойство 2 проекций из § 5, найдем:

что и требовалось доказать.

IV. Скалярное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя; это свойство выражается следующей формулой:

т. е. чтобы умножить скалярное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

Для доказательства мы вычислим отдельно левую и правую части последнего равенства (предполагай )

и заметим, что углы АВ и равны, потому что векторы В и одного направления. Легко проверить формулу (13) и при

Как частный случай доказанного свойства отметим следующее предложение: чтобы перемножить скалярно два вектора, можно один из них умножить скалярно на единичный вектор, направленный по второму, и полученное произведение умножить на длину второго, т. е.