§ 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему двух однородных уравнений с тремя неизвестными

Предположим, что из трех определителей

по крайней мере один, например первый, отличен от нуля. Тогда, перенося члены с z в правую часть и решая уравнения относительно получим на основании (4):

где z произвольно.

Введем обозначение

Тогда

где k есть произвольный множитель пропорциональности. Если взять то получим решение системы, отличное от очевидного нулевого решения получающегося Заметим, что определители формул (9), которым пропорциональны неизвестные системы (7), получаются из таблицы коэффициентов этой системы

путем вычеркивания соответствующего столбца, при этом для среднего неизвестного необходимо еще переставить столбцы в полученном определителе.

Если все три определителя, стоящие в формулах (9), равны нулю, то соответствующие коэффициенты уравнений (7) будут пропорциональны, и, следовательно, система (7) приведется к одному уравнению

откуда, считая, например, получим:

где у и z могут принимать любые значения.

Пример 1. Решить систему Составляем таблицу из коэффициентов данной системы:

и, вычеркивая поочередно столбцы, образуем определители:

(в среднем определителе меняем порядок столбцов). Согласно формулам (9) решение системы будет.

где k произвольно.

Пример 2. Решить систему

Составляя таблицу из коэффициентов

и вычеркивая поочередно столбцы, получим

Следовательно, данная система приводится к одному уравнению:

в чем убеждаемся непосредственно, если сократим на 2 второе уравнение. Решение системы будет

где могут принимать произвольные значения.