§ 5. Парабола.

Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что данная точка не лежит на прямой).

Рис. 52.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ох прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; за начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через (рис. 52). Величину называют параметром параболы. Координаты фокуса F будут Обозначим через х и у координаты произвольной точки М параболы. Тогда координаты точки К — основания перпендикуляра, опущенного из М на директрису, будут — . Так как по определению , то, применяя формулу расстояния между двумя точками (гл. I, § 5), получим уравнение параболы в выбранной системе кооординат

Чтобы придать ему простейший вид, возведем обе части в квадрат. Будем иметь:

или

откуда

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Чтобы исследовать форму параболы по ее уравнению (6), заметим, что не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси Оу. Каждому значению соответствуют два значения у, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, т. е. кривая симметрично расположена относительно оси Ох. С увеличением абсолютная величина ординаты у увеличивается, причем когда неограниченно растет, то тоже неограниченно растет. Кривая имеет вид, данный на (рис. 52).

Парабола имеет одну ось симметрии; ось симметрии параболы называют ее осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. Для параболы, заданной уравнением (6), вершиной является начало координат.

Заметим, что все три рассмотренные линии — эллипс, гипербола, парабола — в декартовой системе координат могут быть представлены уравнениями второй степени.

Рис. 53.