Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Гипербола и ее асимптоты.Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами). Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами через По определению гиперболы
В правой части равенства нужно выбрать знак плюс, если Так как
Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Освобождаясь в этом уравнении от радикалов (как и в § 3), можно привести уравнение к простейшему виду. Перенося первый радикал в правую часть равенства и возводя обе части в квадрат, после очевидных преобразований получим:
Возведя еще раз обе части равенства в квадрат, сделав приведение подобных членов и разделив на свободный член, получим:
Так как
получим каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем форму гиперболы. 1) Симметрии гиперболы. Так как уравнение (3) содержит только квадраты текущих координат, то оси координат являются осями симметрии гиперболы (см. аналогичное утверждение для эллипса). Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии — центр симметрии — называется центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (3), фокальная ось совпадает с осью Ох, а центром является начало координат. 2) Точки пересечения с осями симметрии. Найдем точки пересечения гиперболы с осями симметрии — вершины гиперболы. Полагая в ураннении
Следовательно, точки
откуда
т. е. для у мы получили мнимые значения; это означает, что ось Оу не пересекает гиперболы.
Рис. 51. В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью симметрии (фокальной осью), ось симметрии, которая не пересекает гиперболы, называется мнимой осью симметрии. Для гиперболы, заданной уравнением (3), действительной осью симметрии является ось 3) Форма гиперболы. При исследовании формы гиперболы достаточно рассматривать положительные значения х и у, потому что кривая симметрично расположена относительно осей координат. Так как из уравнения (3) следует, что 1, то 4) Асимптоты гиперболы. Чтобы более ясно представить себе вид гиперболы, рассмотрим две прямые линии, тесно с нею связанные — так называемые асимптоты. Предполагая х и у положительными, разрешим уравнение (3) гиперболы относительно ординаты у:
Сопоставим уравнение Покажем, что при неограниченном возрастании
откуда
После упрощения получим:
Из последней формулы мы усматриваем, что при неограниченном возрастании абсциссы Наконец, вследствие симметрии гиперболы относительно оси Оу мы получим вторую прямую Эти две прямые линии носят название асимптот гиперболы, они, как мы видели, имеют уравнения:
Очевидно, асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси Ох и равна 2а, другая — параллельна оси Оу и равна При вычерчивании гиперболы по ее уравнению рекомендуется предварительно построить ее асимптоты. Равносторонняя гипербола. В случае
Очевидно, угловые коэффициенты асимптот
|
1 |
Оглавление
|