§ 3. Определители 3-го порядка.

Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

Чтобы решить эту систему, исключим из уравнений (10) два неизвестных, например следующим образом. Умножим данные уравнении почленно на и, сложив, определим введенные множители так, чтобы коэффициенты при у и z были равны нулю. Таким образом, сперва получим:

Положив

получим уравнение

Из уравнений (11) определим с точностью до общего множителя; мы можем принять (§ 2):

Внося эти значения в уравнение (12), получим в результате уравнение, содержащее одно неизвестное

Коэффициент при

назовем определителем 3-го порядка, соответствующим квадратиой таблице из девяти элементов:

и обозначим его символически так:

Если заменить определители 2-го порядка их выражениями, то получим окончательно для определителя 3-го порядка следующее выражение:

Можно указать простое правило составления последнего выражения. Для этого напишем таблицу (15), приписывая к ней справа еще раз первый и второй столбцы.

Возьмем со знаком плюс произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на схеме (17) перечеркнуты сплошной линией). Произведения же элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелах к содержащих по три элемента, возьмем ее знаком минус (на схеме (17) перечеркнуты пунктиром). Алгебраическая сумма этих шести произведений дает, как это усматриваем из выражения (16), определитель 3-го порядка, совтветствующий квадратной таблице (15).

Пример. Вычислить определитель

Согласно определению (14) имеем: