Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных.Общее уравнение
где коэффициенты А и С одновременно не равны нулю, так как в иротивном случае уравнение превратилось бы в уравнение Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением при различных значениях его коэффициентов. Случай I. Коэффициенты при сделали бы их положительными. Перепишем уравнение (8) следующим образом:
Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого к левой и правой частям уравнения прибавим
или
Перенесем начало координат в точку
где
В результате уравнение (9) примет вид:
Пусть
Введя обозначения и С и U положительны, будем иметь
Это есть уравнение эллипса. Следовательно, в данном случае уравнение (10), а значит и уравнение (8), определяет эллипс (в частности, при Если других значениях переменных левая часть уравнения положительна. Возвращаясь к уравнению (8), видим, что ему удовлетворяют координаты только одной точки Наконец, если Пример. Упростить уравнение кривой
и установить ее вид. Перепишем уравнение так:
Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим
или, после преобразований,
Перенесем начало координат в точку
Это есть уравнение эллипса. Центр его лежит в точке
Рис. 76. Заметим, что обычно нет надобности писать уравнение эллипса в системе координат ХОУ. Лучше оставить его в виде Случай II. Коэффициенты А и С уравнения (8) имеют разные знаки. Для определенности положим, что
Перенесем начало координат в точку координат ХОУ уравнение (11) примет вид
где
Пусть U отлично от нули. Разделив обе части уравнения (12) на U, получим:
Если
После этого уравнение примет вид:
Это уравнение гиперболы, действительная ось которой лежит на оси Если же
придем к уравнению
Это тоже уравнение гиперболы. Только действительная ось ее лежит на оси Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8) определяет гиперболу с центром в точке
Полагая
или
По это уравнение распадается на два уравнения первой степени:
Каждое из них есть уравнение прямой, проходящей через точку Пример 1. Упростить уравнение кривой
и установить ее вид. Перепишем уравнение так:
и каждую из скобок дополним до полного квадрата:
После преобразований получим
Это уравнение гиперболы с центром в точке (3, 1). (Как мы уже отмечали, нет надобности переходить к системе координат ХОУ.)
Рис. 77. Действительная полуось ее равна 5, а мнимая равна 2. Расположение этой гиперболы показано на рис. 77. Пример 2. Упростить уравнение кривой
и установить ее вид. Преобразуем уравнение к виду
или
Это уравнение гиперболы с центром в точке (0,2). Действительная полуось равна 2, а мнимая равна 1. Расположение гиперболы показано на рис. 78. Так как в уравнении отсутствует свободный член, то гипербола проходит через начало координат. Пример 3. Упростить уравнение кривой
и установить ее вид.
Рис. 78. Перепишем уравнение так:
После преобразований получим
Представив левую часть в виде произведения
замечаем, что уравнение распадается на два:
Мы получили две прямые, пересекающиеся в точке (2, 1) (см. рис. 79). Случай III. Коэффициент С уравнения (8) равен нулю
Предполагая, что
Введем обозначения:
Наше уравнение запишется так:
Преобразуем его к виду
или
Перенесем начало координат в точку
Это есть уравнение параболы.
Рис. 79. Вершина ее находится в точке Заметим, что уравнение (14) было рассмотрено в § 5, где приведение его к простейшему виду производилось иным способом. Если в уравнении
т. е. будет содержать только одно переменное Пусть а, и
Приравнивая к нулю каждую из скобок, получим два уравнения первой степени:
Если корни
Рис. 80. Если же корни Разумеется, ход нашего исследования не изменится в случае Пример. Упростить уравнение кривой
Н установить ее вид. Разрешим уравнение относительно
И преобразуем его к виду:
или
Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке Ось симметрии параболы параллельна оси
|
1 |
Оглавление
|