§ 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных.

Макеты страниц

§ 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных.

Общее уравнение степени между двумя переменными, не содержащее их произведения, имеет вид:

где коэффициенты А и С одновременно не равны нулю, так как в иротивном случае уравнение превратилось бы в уравнение степени.

Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением при различных значениях его коэффициентов.

Случай I. Коэффициенты при одного знака. Можно считать, что они положительны, так как если бы они были отрицательными, то, умножив обе части уравнения на мы

сделали бы их положительными. Перепишем уравнение (8) следующим образом:

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого к левой и правой частям уравнения прибавим уравнение примет вид:

или

Перенесем начало координат в точку Тогда по формулам (2) и (3) (§ 2)

где - координаты в новых осях. Обозначим правую часть уравнения (9) через

В результате уравнение (9) примет вид:

Пусть разделив обе части уравнения (10) на U, получим:

Введя обозначения и что возможно, так как А,

С и U положительны, будем иметь

Это есть уравнение эллипса. Следовательно, в данном случае уравнение (10), а значит и уравнение (8), определяет эллипс (в частности, при — окружность). Центр этого эллипса имеет координаты — и системе координат а его оси параллельны осям коардинат.

Если то уравнение (10) будет иметь вид Оно определяет только одну точку так как при любых

других значениях переменных левая часть уравнения положительна. Возвращаясь к уравнению (8), видим, что ему удовлетворяют координаты только одной точки .

Наконец, если то правая часть уравнения (10) отрицательна, в то время как оба члена левой части при любых значениях X и Y неотрицательны. Следовательно, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению (10), а значит и уравнению (8). В этом случае уравнение не определяет никакой линии.

Пример. Упростить уравнение кривой

и установить ее вид.

Перепишем уравнение так:

Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим

или, после преобразований,

Перенесем начало координат в точку волагая будем иметь

Это есть уравнение эллипса.

Центр его лежит в точке , а полуоси равны 3 и 2 (рис. 76).

Рис. 76.

Заметим, что обычно нет надобности писать уравнение эллипса в системе координат ХОУ. Лучше оставить его в виде . В этой форме записи сразу видны координаты центра эллипса.

Случай II. Коэффициенты А и С уравнения (8) имеют разные знаки. Для определенности положим, что . Как и в случае I, приведем уравнение (8) к виду:

Перенесем начало координат в точку и обозначим правую часть уравнения (11) через U. После этого в системе

координат ХОУ уравнение (11) примет вид

где

Пусть U отлично от нули. Разделив обе части уравнения (12) на U, получим:

Если то можно ввести обозначения (напомним, что по условию ):

После этого уравнение примет вид:

Это уравнение гиперболы, действительная ось которой лежит на оси а мнимая на оси О, У.

Если же то, обозначая

придем к уравнению

Это тоже уравнение гиперболы. Только действительная ось ее лежит на оси , а мнимая — на оси

Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8) определяет гиперболу с центром в точке Действительная ось ее будет параллельна оси Ох или оси Оу в зависимости от знака U. Пусть . В этом случае уравнение (12) представится так:

Полагая перепишем его в таком виде:

или

По это уравнение распадается на два уравнения первой степени:

Каждое из них есть уравнение прямой, проходящей через точку , т. е. через точку . Таким образом, при уравнение (12), а значит и уравнение (8), определяет пару пересекающихся прямых. Как говорят, кривая выродилась в пару прямых.

Пример 1. Упростить уравнение кривой

и установить ее вид.

Перепишем уравнение так:

и каждую из скобок дополним до полного квадрата:

После преобразований получим

Это уравнение гиперболы с центром в точке (3, 1). (Как мы уже отмечали, нет надобности переходить к системе координат ХОУ.)

Рис. 77.

Действительная полуось ее равна 5, а мнимая равна 2. Расположение этой гиперболы показано на рис. 77. Пример 2. Упростить уравнение кривой

и установить ее вид.

Преобразуем уравнение к виду

или

Это уравнение гиперболы с центром в точке (0,2). Действительная полуось

равна 2, а мнимая равна 1. Расположение гиперболы показано на рис. 78. Так как в уравнении отсутствует свободный член, то гипербола проходит через начало координат.

Пример 3. Упростить уравнение кривой

и установить ее вид.

Рис. 78.

Перепишем уравнение так:

После преобразований получим

Представив левую часть в виде произведения

замечаем, что уравнение распадается на два:

Мы получили две прямые, пересекающиеся в точке (2, 1) (см. рис. 79).

Случай III. Коэффициент С уравнения (8) равен нулю ). В этом случае уравнение (8) принимает вид:

Предполагая, что разрешим его относительно у

Введем обозначения:

Наше уравнение запишется так:

Преобразуем его к виду

или

Перенесем начало координат в точку Полагая получим уравнение

Это есть уравнение параболы.

Рис. 79.

Вершина ее находится в точке а ось симметрии лежит на оси и, следовательно, параллельна первоначальной оси

Заметим, что уравнение (14) было рассмотрено в § 5, где приведение его к простейшему виду производилось иным способом.

Если в уравнении то оно примет вид:

т. е. будет содержать только одно переменное

Пусть а, и корни этого уравнения. Тогда уравнение (15) принимает вид

Приравнивая к нулю каждую из скобок, получим два уравнения первой степени:

Если корни и действительные, то каждое из них есть уравнение прямой, параллельной оси (При обе прямые сливаются.) В этом случае говорят, что кривая выродилась в пару параллельных прямых.

Рис. 80.

Если же корни мнимые, то трехчлен ни при каких действительных значениях не обращается в нуль и, следовательно, нет одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению (15).