§ 3. Поворот осей координат.

Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).

Рис. 70.

Пусть а есть угол между осями Ох и ОХ. Обозначим через х, у и X, У координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:

Рассмотрим ломаную линию и возьмем ее проекцию на ось Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл, I, § 8) имеем:

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:

Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой

лежит отрезок (гл. I, § 8), то

Отсюда равенство (4) нам дает:

Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу, получим выражение для у. В самом деле, имеем:

Заметив, что

будем иметь:

или

Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и У.

Рис. 71.

Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе. Из рис. 71 имеем:

Так как (гл. I, § 11)