§ 7. Угол между двумя осями.

Пусть на плоскости даны две оси , пересекаюшиеся в точке S (рис. 11). Условимся понимать угол между двумя осями заданными в указанном порядке, как угол, на который надо повернуть ось вокруг точки 5, чтобы ее положительное направление совпало с положительным направлением оси . Этот угол будем обозначать

Рис. 11.

Заметим, что угол можно также рассматривать как угол между двумя лучами, выходящими из точки S в положительных направлениях осей и . Измеряя угол, как обычно, градусами или радианами как и в тригонометрии, полученное число будем брать со знаком или — в зависимости от направления поворота: знак если угол получен поворотом оси против часовой стрелки, и знак если поворот этой оси совершается по часовой стрелке. Ось не единственным образом можно повернуть так, чтобы ее положительное направление совпало с положительным

направлением оси Действительно, если мы уже повернули ось на такой угол, то после этого можно еще дополнительно повернуть ее на любое число полных оборотов по или против часовой стрелки так, что положительное направление ее по-прежнему будет совпадать с положительным направлением оси

Таким образом, для угла между осями можно указать не одно, а бесчисленное множество значений. Если одно из этих значений обозначить через , то любое значение угла может быть получено по формуле

где — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

В дальнейшем, говоря об угле между двумя осями, мы обычно будем иметь в виду какое-нибудь одно из всевозможных его значений; чаще всего — наименьшее по модулю значение.

В наших рассуждениях мы предполагали, что оси пересекаются. В случае параллельности осей угол между ними будем считать равным нулю (или вообще ), если они имеют одинаковые положительные направления, и (или вообще ), если их положительные направления противоположны.

Рис. 12.

По аналогии с изложенным условимся понимать угол между осыо и направленным отрезком как угол, на который надо повернуть ось, чтобы ее положительное направление совпало с направлением отрезка (в случае надобности условимся продолжать отрезок до пересечения с осью).

Замечание. Мы условились считать положительными углы, отсчитываемые против часовой стрелки. Однако иногда удобнее производить отсчет положительных углов но часовой стрелке. Выбор положительного направления отсчета углов связан с выбором координатной системы. Возможны два типа взаимного расположения осей прямоугольной декартовой системы координат на плоскости. Если смотреть вдоль положительного направления оси Оу, то ось Ох может быть направлена вправо (рис. 12) или влево (рис. 13).

Рис. 13.

В первом случае система координат называется правой, а во втором — левой. Можно пользоваться любой из этих систем координат. Как в правой, так и в левой системах положительными считают углы, отсчитываемые в ту же сторону, в какую нужно повернуть ось Ох на прямой угол, чтобы ее положительное направление совпало с положительным направлением оси Очевидно (см. рис. 12 и 13),

этот поворот в случае правой системы производится против часовой стрелки, а в случае левой — по часовой стрелке. В дальнейшем мы будем, как правило, пользоваться правой системой координат и в соответствии с этим положительные углы отсчитывать против часовой стрелки.