§ 12. Основные свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1), т. е.

В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы и имеют одинаковые длины и коллинеарны.

Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А X В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор ВХА должен быть направлен в противоположную сторону.

Заметим еще, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство (24) очевидно, так как тогда — нулевые векторы.

2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя; это свойство выражается следующими формулами:

т. е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

Обе формулы (25) доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем

Для доказательства равенства векторов заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:

Направления же векторов совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т. е.

Для доказательства заметим сначала, что произведение где — единичный вектор, можно построить так (рис. 104).

Рис. 104.

Рис. 105.

Спроектируем вектор на плоскость, перпендикулярную к и полученную вектор-проекцию повернем в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 90° (если смотреть на плоскость с конца вектора ).

Полученный вектор и равен . В самом деле,

где ф — угол между векторами

б) вектор перпендикулярен к векторам А и С и направлен в ту сторону, из которой кратчайшее вращение от А к представляется совершающимся против часовой стрелки.

Итак,

Пусть теперь даны единичный вектор перпендикулярная к нему плоскость и треугольник (рис. 105), в котором

и

Спроектируем на плоскость и повернем проекцию в плоскости по часовой стрелке на 90°.

Получим в котором по предыдущему

Так как

то

Заметив, что умножим теперь обе части равенства (27) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:

или

что и требовалось доказать.

Пример 1. Показать, что , и выяснить геометрический смысл этого равенства, изображая векторы диагоналями параллелограмма.

В самом деле:

Геометрически это значит, что удвоенная площадь параллелограмма равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях.

Пример 2. Пусть вершины треугольника АВ С заданы своими радиусами-векторами Найти вектор S, представляющий треугольную площадку ABC, на которой задано направление обхода контура от А к В и от В к С, т. е. найти вектор, длина которого численно равна площади данного треугольника, а направление перпендикулярно к его плоскости (причем вектор должен быть направлен в ту сторону, откуда заданный обход контура треугольника кажется происходящим против движения часовой стрелки). Так как то искомый вектор S будет: